Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 142
Скачиваний: 0
128 |
ВВЕДЕНИЕ |
(ГЛ. 7 |
Это равенство кратко называют комплексной формулой Фурье. С ней связаны взаимные, или двойственные, соот ношения между парами функций
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
ф (и)= |
J |
f(t)eiuidt, |
|
(7.1.5) |
||
|
|
|
|
|
— СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
/ (*) = ^ |
5 |
(“) e-lxudu. |
|
(7.1.6) |
|||
|
|
|
|
|
— СО |
комплексным преобразова |
|||
Первое из равенств |
называется |
||||||||
нием |
Фурье *) |
и |
переводит |
оригинал / в |
изображение ф. |
||||
Второе равенство |
дает правило |
перехода |
от изображения |
||||||
Ф к оригиналу /. |
|
|
|
|
Фурье частного |
вида, но |
|||
Приведем еще две формулы |
|||||||||
такие, что они в совокупности |
равносильны общей фор |
||||||||
муле |
(7.1.3). |
Если |
воспользоваться известным |
выраже |
|||||
нием для косинуса разности двух аргументов, равенству (7.1.3) можно придать вид, аналогичный разложению функции в ряд Фурье:
СО |
|
|
|
f(x) — \ [а {и) cos их-\-b (и) sin их] du, |
(7.1.7) |
||
о |
|
|
|
СО |
|
|
|
а(ы)=-^- |
^ |
/ (t) cos ut dt, |
|
— |
СО |
|
|
|
со |
|
|
b(u) = |
^ |
f (t) sin utdt. |
|
—00
*) Чтобы придать формулам преобразования и его обращения более симметричный вид, равенства (7.1.5 — 6) часто изменяют и записывают несколько иначе:
»<“>=гк
— со со
/Ч*) = у = = ^ <f(u)e~ixad u .
—00
Так как численный множитель в первом равенстве для нашего из ложения значения не имеет и лишь осложняет запись, мы избрали для правил форму (7.1.5—6). Аналогичные замечания можно сделать о приводимых ниже косинус- и синус-преобразованиях Фурье.
§ 7.1! ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ 129
Когда / есть |
четная функция, |
то |
|
00 |
|
|
5 / ( 0 zosutdt, |
b(u) = О |
|
о |
|
и (7.1.7) переходит в косинус-формулу Фурье; |
||
СО |
0 0 |
|
f(x) = ^ ^ c°s хи du ^f(t) cos ut dt |
(0 < x < o o ). (7.1.8) |
|
о |
0 |
|
Аналогично, если / есть нечетная функция, то (7.1.7)
переходит в синус-формулу Фурье:
СО |
0 0 |
|
|
|
|
f (х) = Цsin uxdu j f(t) sinut dt |
(OsgA:<oo). |
(7.1.9) |
|||
Общую формулу Фурье (7.1.3) можно рассматривать |
|||||
как комбинацию |
частных |
формул |
(7.1.8 — 9). |
В |
самом |
деле, всякую функцию / |
можно |
представить |
как |
сумму |
|
ее четной и нечетной частей; |
|
|
|
||
f(x) = g (х) + |
h (х), |
g (x )= ± |
[/' (х) + f (— х)\, |
|
|
М*) = | [ /( * ) - / ( - * ) ] •
Внутренний интеграл формулы (7.1.3) будет иметь следующее выражение через g и h:
00 |
|
00 |
|
|
$ / (0 cos и (х — t)dt = |
2 cos хи $ g (t) cos ut dt -f- |
|||
— со |
|
0 |
|
|
|
|
|
CO |
|
|
|
|
"H 2 sin xu ^ |
h (t) sin ut dt. |
|
|
|
о |
|
Поэтому из формулы (7.1.3) получим |
|
|||
|
ОО |
|
00 |
|
f(x) — g (х) + h (лг) = |
[ cos хи du |
^ g (t) cos ut dt + |
||
|
о |
|
0 |
|
|
|
0 0 |
0 0 |
|
|
-f |
^ sin xu du j |
h (t) sin ut dt |
|
6 |
B f И , К р ы л о в , H . С , С к о б л я |
130 |
ВВЕДЕНИЕ |
[ Г Л . 7 |
и общая формула Фурье есть действительно сумма коси нус-формулы для g (.х) и синус-формулы для к (х).
С косинус-формулой Фурье (7,1.8) связано соотноше ние между парой функций / и срс:
00 |
cosutdt |
|
фс (и )= ^ /( 0 |
(О=^лг<оо), |
|
о |
оо |
|
|
|
|
/(*) = |
2 (* |
|
— Vфс (и) cos хи du. |
||
(7.1.10)
(7.1.11)
Первое из этих равенств есть косинус-преобразование ори гинала f в изображение <fc, второе же равенство обращает это преобразование.
С синус-формулой Фурье (7.1.9) также связано двой ственное соотношение между функциями / и ф 5 :
СО |
|
|
|
Ф*(и) = \f(t) sin ut dt |
( О ^ Ж о о ) , |
(7.1.12) |
|
о |
00 |
|
|
f(x) — ^ |
^ 9S(«) s'mxudu. |
(7.1.13) |
|
|
о |
|
|
Равенство (7.1.12) есть синус-преобразование Фурье, и (7.1.13) —его обращение.
Как можно видеть, комплексное преобразование Фурье (7.1.5) легко приводится к преобразованиям (7.1.10) и
(7.1.12). |
Заменим в |
(7.1.5) функцию f(t) ее разложением |
|||
на четную и нечетную части: f (х) = |
g (х) + h (х), где g (х) |
||||
и h(x) указаны выше: |
|
||||
ф (м) = |
СО |
/ (О еШМ ~ |
|
||
5 |
|
||||
|
~00 |
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
I |
[^(0 + |
/i(0] [c o s ^ + г |
sin»/] dt = |
|
С= 2 |
СО |
СО |
|
|
|
$ g (0 cos ut dt + 2i \ h (t) sin ut dt = |
||||
|
|
|
о |
о |
= 2gc (u) -f- 2ihs (и), |
|
|
|
|
|
|
§ 7 .2 ]- |
ПРИВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛА МЕЛЛИНА |
131 |
и комплексное преобразование (7.1.5), |
следовательно, |
|
есть простая |
линейная комбинация косинус- и синус-пре |
|
образований |
Фурье. |
|
§7.2. Приведение интеграла типа Меллина
кпреобразованию Фурье
Укажем на связь между обращением преобразования Лап ласа и преобразованием Фурье. Рассмотрим интеграл Меллина
c + f o o
= i |
§ F(p)expdp |
|
(— о о < х < о о ) |
(7.2.1) |
|
|
с — t o o |
|
|
|
|
при единственном предположении |
о функции F (р): будем |
||||
считать ее заданной и абсолютно |
интегрируемой |
на |
пря |
||
мой р = с + 7Т |
(— со -< т <С со). |
Интеграл сходится |
рав |
||
номерно относительно х на оси — оо<.х <С.оо и является там непрерывной функцией х.
Если в |
(7.2.1) внести вместо р его значение |
p = c-\-ix |
|
на линии |
интегрирования и принять во внимание, что в |
||
величине exp = ecxeixx множитель есх от переменной интег |
|||
рирования не зависит, можно (7.2.1) преобразовать к виду |
|||
|
|
СО |
|
|
e~cxf {х) = ^ |
F (с+ h) eiXTdx, |
(7.2.2) |
|
|
—00 |
|
показывающему, что вычисление интеграла Меллина f(x) |
|||
приводится к комплексному преобразованию Фурье функ ции F (с+ ix).
Этот простой факт позволяет для преобразования Мел
лина применить все известные методы |
численного пре |
|||||
образования |
Фурье. |
|
|
|
||
В § |
7.1 |
мы обращали |
внимание |
на то, что преобра |
||
зование |
Фурье |
функции |
Е(с + /т) |
легко |
приводится к |
|
более простым |
косинус- |
и синус-преобразованиям четной |
||||
и нечетной частей функции Е(с + 7'т):
F (c + ix) = g(x) + h(x),
ё СО = 2 iF (с + л) + F ( с - ix)],
б*