Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 143
Скачиваний: 0
! 32 ВВЕДЕНИЕ [ Г Л . 7
|
h (т) = \ |
[F (с+ ix) - F (с - гг)], |
|
СО |
|
e~exf(x) = j"- |
^ [g^)+Hn)]^xxdx = |
|
— 00 |
|
|
|
со |
со |
= -i- |
^ g (т) cos хт dx 4* ~~ ^ h (т) sin хт dx — |
|
|
о |
о |
= i~[gc(x) + ihs(x)]. (7.2.3)
Изложенное дает возможность привести вычисление интег ралов Меллина к вычислению косинус-и синуспреобра зований Фурье. Преимущественно на этих последних пре образованиях мы остановим в дальнейшем свое внимание.
|
|
|
Г Л А В А 8 |
|
|
ОБРАЩЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА |
|
||
|
|
С ПОМОЩЬЮ РЯДА ФУРЬЕ |
|
|
Изложение вопроса о применении гармонического ана |
||||
лиза к |
обращению |
преобразования Лапласа |
начнем |
|
с рассмотрения |
случаев, которые можно считать |
вырож |
||
денными, |
когда |
задача |
вычислений упрощается и интег |
|
ральное преобразование Фурье может быть заменено
рядом Фурье. |
Это |
наверное можно сделать в двух |
слу |
||||
чаях, либо когда функция |
/ (х) быстро убывает по |
абсо |
|||||
лютной величине при |
удалении |
х в бесконечность, |
либо |
||||
когда ее изображение F (с+ гт), стоящее под знаком |
|||||||
интеграла |
(7.2.2), |
быстро |
стремится к нулю при |
воз |
|||
растании |
| т| . |
При |
изложении |
ограничимся лишь описа |
|||
нием вычислительных |
схем, |
так |
как проблемы сходимости |
||||
и оценки |
погрешности |
трудны |
и еще не изучены. |
|
|||
§ 8.1. Случай быстро убывающего оригинала j ( x ) |
|||||||
Для сокращения |
записи введем обозначения |
|
|||||
|
f(X)e~cx= g(X), |
F (c-f /т) = G(т). |
|
||||
При помощи их преобразование Лапласа
СО
F (с-f ix) = $ / (t) е~ <с+i%) ‘dt
о
и его обращение (7.2.2) могут быть записаны в виде
СО
G(т) = ^ g (t) e~ixtdt,
О
с о |
(8. 1. 1) |
|
|
е М = 2й 5 G W eiXT dx- |
|
— с о
134 |
ОБРАЩЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ РЯДА ФУРЬЕ |
[ГЛ. 8 |
Предположим теперь, что оригинал / (/),а следовательно, и функция g(t) обращаются в нуль или имеют пренебре жимо малые значения всюду вне конечного отрезка [О, Т]. Разложим g(t) в ряд Фурье на [О, Т] и запишем разложе ние в комплексной форме:
СО |
|
£ (* )= 2] |
(8-1.2) |
k= —CO |
|
где со = 2п/Т и |
|
т |
|
ck = у Ц g (t) e - ikaidt. . |
(8.1.3) |
о
Так как g(t) имеет вне [0,Т] исчезающе малую величину, можно приближенно считать
СО
ск^ ~ |
J g (t) е~1Ш6Л= jG(ka). |
(8.1.4) |
|
О |
|
Погрешность этого |
равенства имеет значение |
|
00
у G {ka) - c k = ~ - ^ g (t) е~1Ш dt
т
и может быть оценена следующим неравенством:
-f G(kсо) — ск |
(8.1.5) |
Если в (8.1.2) вместо ск внести их приближенные зна |
|
чения (8.1.4), получим следующее |
выражение g(t) через |
значения изображения F в равноотстоящих точках c-{-ikm
(Л = 0 , ± 1 , ± 2 , |
...): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СО |
|
(8.1.6) |
f { t ) e - c i = g |
{t) ^ J ? _ |
2 F (c+ ito)^ . |
||||
|
|
|
k=~~ca |
|
|
|
При применении этого равенства к вычислениям важно, |
||||||
чтобы функция |
F (с |
ikсо) достаточно быстро |
убывала при |
|||
неограниченном |
возрастании |
абсолютного |
значения k. |
|||
В некоторых |
случаях этого можно добиться |
путем |
пред |
|||
варительной |
подготовки изображения F (р) |
и ускорения |
||||
стремления к нулю F (р) при р - у оо. Для ознакомления с задачей такой подготовки мы отсылаем читателя к третьей части книги, посвященной этой задаче.
§ 8.2] С Л У Ч А Й |
Б Ы С Т Р О Г О |
У Б Ы В А Н И Я И З О Б Р А Ж Е Н И Я |
F ( р ) |
135 |
||
§ 8.2. Случай быстрого убывания модуля |
|
|||||
|
|
изображения F(p) |
|
|
|
|
Функцию |
G (т) = F (с+ ix) будем считать |
абсолютно |
||||
интегрируемой |
на |
оси |
— о о < т < о о и |
пренебрежимо |
||
малой вне конечного отрезка [ — |
Что же каса |
|||||
ется ее поведения |
на самом отрезке [— Т, |
Т\, |
то G(x) на |
|||
нем есть регулярная аналитическая функция со значе ниями, равными нулю с принятой точностью на концах отрезка. Она может быть разложена в ряд Фурье. Разло жение запишем в комплексной форме:
СО
G(т) = |
2 |
ске г ^ \ |
Q = £ , |
(8.2.1) |
|
k——00 |
|
---- |
|
|
|
Т |
|
|
cm = ~ |
$ G (t) eimQI dt. |
(8.2.2) |
||
|
|
— T |
|
|
Так как вне [— T, |
Т\ функция G(x) считается пренебре |
|||
жимо малой, верно с принятой точностью равенство |
||||
т |
|
|
|
|
g ( x ) ^ ± $ |
G(x)e^dx |
( - Т ^ х ^ Т ) , |
(8.2.3) |
|
погрешность которого может быть грубо оценена при помощи неравенства
г
$ G(x)eixxdx
—т
-Т
1^ G (х) eiiad x ^ G (х) elxxdx
2я
|
|
|
|
|
S l|G (T )| + |G ( - T ) |] d T . |
|
|
|
|
|
т |
Внесем |
в |
интеграл |
(8.2.3) |
вместо G(t) разложение |
|
(8.2.1) |
и |
выполним почленное |
интегрирование ряда*). |
||
*) В задаче обращения функция |
G (т) = F ic + ix) будет аналити |
||||
ческой |
на отрезке |
— Т ^ х ^ |
Т, но может принимать различные зна |
||
чения на его концах. Ряд Фурье будет сходиться равномерно относи тельно т к G (т) на отрезке вида [— T-f-6, Т — б] при всяком положительном б и сходиться ограниченно к G(т) на полуинтервалах (— Г, — 7 -|-б], [7 — б, 7). Почленное интегрирование ряда является возможным.
136 ОБРАЩЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ РЯДА ФУРЬЕ [ГЛ, 8
Если принять во внимание равенство
т
С pi (x —kQ) т r l r — |
^ |
[gs (х Т —kn) |
g—i (хТ—Ал) 1 |
|
Д_ |
I (X—kQ) 1 |
1 |
|
|
|
= ( - 1 |
vT |
х ф Ш , |
(8.2.4) |
|
) ^ 2 Т ^ , |
|||
для оригинала f(x) получим следующее приближенное выражение:
= |
I |
( 8 . 2 . 5 ) |
&= — СО
хф к — , — Т < х < Т .
Когда л: = = mQ, то, как следует сразу же из
равенств (8.2.2 —3), для функции f(x) получаем значение
f(tnQ)e-cmQ^ ^ c m. |
(8.2.6) |
Применение (8.2.5) к вычислению оригинала требует вычисления коэффициентов Фурье (8.2.2) функции F (с + г'т). Для ознакомления с методами таких вычислений мы отсы лаем к специальной литературе (см. [7], [9]).
Г Л А В А 9
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ для ВЫЧИСЛЕНИЯ
ИНТЕГРАЛОВ ФУРЬЕ
§ 9.1. Несколько предварительных замечаний
Для численного осуществления преобразования Фурье, т. е. для вычисления интегралов
|
СО |
f (t) cos utdt9 |
|
Фс(и)= |
$ |
(9.1.1) |
|
|
о |
|
|
|
со |
|
|
ц>3 (и) = |
^ |
f (t) sin ut dt, |
(9.1.2) |
|
о |
|
|
|
CO |
|
|
cp (u) = |
\f( t)e iatdt, |
(9.1.3) |
|
_ C Q
могут быть применены многие известные классические пра вила интегрирования, такие, например, как формулы тра пеций, парабол и другие, основанные на формулах Котеса, Гаусса и т. д.
Мы не будем останавливаться на таких правилах по
двум причинам: |
во-первых, эти формулы, так же как и |
их погрешности, |
хорошо известны и изучены достаточно |
подробно; во-вторых, все они имеют существенный недо статок, на который полезно обратить сейчас внимание, чтобы пояснить причины, побудившие не ограничиваться указанными правилами, а строить другие формулы, более удобные для вычисления интегралов Фурье.
Формулы, которые выше имелись в виду, получены при помощи замены интегрируемой функции на всем отрезке
интегрирования или его |
частях на алгебраический много |
член невысокой степени. |
Поэтому они будут давать, навер |
ное, хорошую точность, |
если интегрируемая функция явля |
ется достаточно гладкой |
и не быстро изменяющейся. |
138 |
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ |
[ГЛ. 9 |
|
В интеграле (9.1.1) интегрируемой функцией является |
|||
произведение / (t) cos ut. Если |
параметр и есть большое |
||
число, |
то функция cos ut будет |
быстро колебаться |
и для |
того, чтобы более или менее точно проследить за измене нием произведения / (t) cos ut и получить значение инте грала с допустимой погрешностью, даже при медленно изменяющейся функции /(/), нужно будет взять в формуле квадратур большое число узлов. Последнее же может сделать вычисления трудными или даже невыполнимыми. Аналогичное можно сказать об интегралах (9.1.2 —3).
Применение общих квадратурных формул может иметь лишь ограниченное значение: они могут практически быть полезными для вычислений интегралов (9.1.1—3) только для небольших значений и.
Чтобы построить правила вычислений, пригодные при изменении и в широких границах, необходимо заранее
учитывать наличие множителей cos ut, |
sin ut, |
eiat. Это |
можно сделать, принимая, например, |
такие |
множители |
за весовые функции.
Кроме того, так как и может принимать много значе ний, часть из которых предвидеть заранее не всегда можно, правила вычислений желательно построить так, чтобы они содержали параметр и в буквенном виде и были удобны для счета при любых, в частности при больших, значе ниях и.
Будем считать функцию / (t) настолько быстро стремя
щейся к нулю при 11|-> оо, |
что обеспечивается сходимость |
со |
00 |
интегралов § |f (х) | dx или |
$ \f(x)\dx. Ради определен- |
О—оо
ности часто будем предполагать, что при больших значе ниях 111 выполняется неравенство
| / ( 9 | < Л | * | " 1- в, |
8 > 0. |
(9.1.4) |
§ 9.2. Вычислительные формулы, основанные на алгебраическом интерполировании функции f ( x )
Алгебраическое интерполирование, т. е. интерполиро вание при помощи целых алгебраических многочленов, успешно применяется для приближения непрерывных и достаточно гладких функций на конечных отрезках. Если же отрезок, на котором надлежит приближать функцию /,