Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 121

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 9.3] ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

175

 

 

м

{l + xh)n

 

Здесь

коэффициенты Аи -

ci

зависят только

и

,,

,

от узлов

 

(

Ч )

от функции F.

хк и не зависят ни

от s, ни

Их можно табулировать для наиболее употребительных систем узлов.

Интегралы

^ eil,x ( I х ) ~ п+1~ sdx

зависят

лишь

от

частоты и и от

о

убывания

f(x)

при

s, т. е. от быстроты

неограниченном возрастании х. В п. 9.3.5 мы укажем правила вычисления этих интегралов.

Из представления для погрешности Rn(u) в (9.3.16) просто получается равномерная относительно и оценка

через погрешность интерполирования

гп (х):

I * » (« )!<

(9.3. И)

о

 

Из нее вытекает теорема о сходимости вычислительного процесса, соответствующего (9.3.16).

Пусть процесс определяется бесконечной треугольной таблицей узлов интерполирования

Х =

*■(«)

(9.3.18)

 

Ци)

хп

 

*0

1

Предположим, что интерполирование (9.3.7) функции У7

выполняется по узлам х[п)

(& =

0, 1....... п), принадлежа­

щим строке номера

п таблицы

X. Допустим теперь, что

/г-> оо; тогда имеет

место следующая

Те о р е м а 1. Пусть выполняются условия:

1)интерполяционный процесс (9.3.7), определяемый таблицей узлов (9.3.18), сходится для функции F (х) при

почти всех значениях х на полуоси 0 «с х < оо; 2) погрешность гп (х) интерполирования при всех доста­

точно больших п удовлетворяет условию

| (лг) I Af < ° ° (О йСхСоо ).

Тогда остаточный член Rn (и) соответствующего вычис­ лительного процесса (9.3.16) для преобразования срДи)

176 ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ [ГЛ. 9

стремится к нулю при п-+ со равномерно относительно и на оси — со < и < со.

Эта теорема есть непосредственное следствие известной теоремы о предельном переходе в интеграле Лебега *): если последовательность суммируемых на множестве Е функций gn(x) сходится почти везде на £ к суммируемой

на Е функции g(x)

и существует суммируемая на Е функ­

ция 1г\х) такая, что при всяких п и

выполняется

неравенство |gn (х) |

h (х), то

 

$ gn(x)dx-+ \g(x)dx.

ЕЕ

Для нахождения оценок погрешности Rn(u) в зависи­ мости от свойств функции F (х) может быть полезно, по крайней мере в некоторых случаях, иное представление Rn(x), получающееся из (9.3.16) путем замены гп(х) его представлением вида (9.3.14):

CJU

СО

Rn(u)= ^ dx е‘“

.x)n+s ^

 

п! (1 +x)‘

X ( x - t y E ( x - t ) -

Ln+i (F) X

У -

- т - “ -

- " +

1 , ( Xл с )

.

 

х - х ь

® ' ,

х

 

* = о(X~ Xk) “ п + 1(**)

 

x{xk - t Y E { x k- t ) \ j ~ t . (9.3.19)

Сделаем еще замечание

о знаке

ядра двойного инте­

грала

 

 

1

 

 

 

 

К* (х,

t) ■

 

 

 

 

 

п\ (1 + лг)л« ( 1 + 0 |(х — t)n E(x — t)~

 

 

 

 

П (X)

(xk - i ) nE(xk - i ) \ =

 

 

-

__ ( X -

х к ) “ n+l W

 

 

 

 

 

 

 

 

4 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п\

(1 + X )re+1

( 1 + 0

К ( х , t).

Знак

его

совпадает со знаком выражения

R (х,

t), стоя­

щего

в фигурных

скобках.

Это выражение встречалось

*) См., например, И.

П. Н а т а н с о н ,

Теория функций вещест­

венной переменной, изд.

2-е, гл. VI, §

3, М., Гостехиздат, 1957,

стр. 166— 167.

 

 

§ 9.3]

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

177

в равенстве (9.3.9).

Напомним,

что оно является

ядром

в интегральном

представлении

погрешности

следующей

задачи

алгебраического интерполирования.

 

 

Пусть

узлы

хк

(k = 0,

1, ... ,

п) и точка л: интерполи­

рования

лежат на отрезке

[а, Ь]

и функция

g (*)

интер­

полируется по ее значениям g (хк) многочленом рп (х) сте­

пени п. Если g(x)

имеет на

[а,

b]

непрерывную

произ­

водную порядка

п + 1 ,

то

погрешность

 

интерполирования

Рп (х) = g(x) — рп(х)

 

представима

через

 

производную по­

рядка п + 1 от

g в форме

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рп (X) =

jJ- $

 

 

(/) К (X,

t) dt.

 

(9.3.20)

С другой стороны, для рп(х) известно

 

представление Ла-

гранжа

 

aw 1 М

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рп (х )

gin+1) (£),

 

а

 

 

 

(9.3.21)

 

(п+1)!

 

 

 

 

откуда следует,

что если

производная

g (n+1) (л-)

отлична

от нуля на [а,

Ь],

то

рп (х) не обращается в нуль ни в од­

ной

точке х, кроме

 

узлов

xk

(k — 0,

 

1........п). Поэтому

при каждом фиксированном значении х,

отличном

от узлов

xk, ядро К {х, t), как

функция от t,

не изменяет свой знак

при

a ^ t ^ b ,

так

 

как

если

бы ядро К (х,

t) изменяло

знак, то существовала

бы такая функция g (n+1) (т), сохра­

няющая знак, для которой

интеграл

(9.3.20)

обращался

бы в нуль,

чего

не может быть

ввиду х ф х к (6 =

0, 1,...

. .. , п).

 

 

 

 

 

 

 

 

g(x)

 

 

 

 

 

Кроме

того,

если

считать

многочленом

степени

п + 1 , для

которого

 

g(ra+1 >(х) =

1, то

из

обоих

представле­

ний

погрешности р„(х)

следует

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

М/1-f1 (X)

 

 

 

 

 

п\

 

 

 

 

 

 

 

(п + 1)1

 

 

 

Стало быть,

при

каждом

фиксированном

х знак ядра

К(х , t) совпадает со знаком и„+1 (х).

9.3.3.Случай равноотстоящих узлов. За узлы интер­

полирования примем равноотстоящие точки хк = Шг (k = 0,

1, 2, ... ; Л >0 ) . В этом случае сол+1 (х) = х(х — К). . . (х — nh),

178 ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ [ГЛ, 9

коэффициенты с\к) определяются из равенства

 

^

&

= x ( x - h ) . . . [ x - ( k - \ ) h ] [ x - ( k +

\)h].. .(x — nh) =

 

 

 

 

 

 

= |> < * > (1 + х )'

 

(А = 0,

1........я).

В

равномерном случае

1= 0

 

 

 

 

 

 

 

©# (xk)= kh{k-

\ ) h . . . h {— h) { - 2 h ) . . . ( - \ ) ( n - k ) h =

 

 

 

 

 

 

 

= hn(— \)n~kk\ (n — k)\,

 

 

 

 

 

 

 

c\k) (1 + Щ п

 

 

(9.3.22)

 

 

 

 

 

Аы = (_\)n-khnki (n—k)V

 

 

При составлении числовых таблиц для

Аы всегда можно

считать

h= 1,

так

как

всякое другое

значение

h приво­

дится

к

единице

линейным преобразованием независимой

переменной*)

x = hx'.

 

 

 

 

 

Правило вычислений (9.3.16) в случае равноотстоящих

узлов

принимает

 

вид

 

 

 

 

 

 

 

00

 

 

 

 

 

 

 

фЛ«) =

elttX^ ^

f dx =

 

 

 

 

п

 

О

п

 

со

 

 

 

 

 

- 2

 

F{kh)

s

Аы\ eittx{\-\-x)-"-s+ldx + Rn(u).

(9.3.23)

 

k=0

1=0

 

о

 

 

 

 

 

Проблема сходимости вычислительного процесса, когда

Rn(u)->- 0 при «-*• оо,

иначе говоря,

проблема

возмож­

ности сколь угодно точного вычисления фе (и) по правилу (9.3.23) здесь является весьма своеобразной и требует

пояснений. В предыдущем пункте отмечалось,

что в основе

вопроса сходимости

Рп(и) к нулю

лежит сходимость

ин­

терполирования функции F (х) рациональной

функцией

Рп(х) (см. (9.3.4)) и для равномерного

стремления

Р„(и)

к нулю достаточно,

чтобы Рп{х)

почти

везде

на [0,

оо]

ограниченно сходилась к F (х).

 

 

 

 

 

 

Чтобы сделать изложение наглядным, вернемся

к

пе­

ременной z, положив г —д_^_х . Замкнутая

полуось

О С

sg x sg o o

перейдет в замкнутый отрезок

l ^ s z ^ O .

Функ­

ция F (х),

которую мы предполагали непрерывной

на

по­

луоси O ^ x s g o o ,

преобразуется

в некоторую

функцию

*)

Таблицы значений Akl (ft,

1 = 0, 1, .... п) для я = 1 (1 )1 5

и h = 1

с 10 знаками можно найти

в книге [7].

§ 9.3] ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

179

ф(г) = . Р ^ — lj, непрерывную на единичном отрезке 0=g:

eg;2 ^

1, аРп(х) —в некоторый алгебраический многочлен

рп{г)

степени п, интерполирующий

1)5(2) по значениям

=

в узлах

zk = —_щ -

(к =

0,

1, ... , п ) .

При увеличении

п старые

узлы

сохраняются и к ним

добавляются еще новые. Если рассмотреть все множество

узлов интерполирования

zk {k — 0, 1,2,...),

то они

обра­

зуют монотонную убывающую последовательность,

сходя­

щуюся к нулю.

интерполирования

необходимо

Проблему

сходимости

рассматривать

только в таких множествах функций,

когда

каждая функция вполне определяется значениями, кото­

рые

она

принимает на счетном множестве всех узлов.

Если

это

условие не выполняется и если существует не­

сколько функций, которые принимают одинаковые значе­ ния во всех узлах интерполирования и, следовательно, обладают одинаковыми интерполирующими их многочле­ нами, то вопрос о сходимости интерполирования не имеет обычного смысла.

Когда рассматривают вопрос о сходимости интерполи­ рования для множества всех функций, непрерывных на отрезке [а, Ь\, или для множества функций, имеющих непрерывные производные до некоторого фиксированного порядка т, то принимают во внимание, что каждая такая функция определяется своими значениями на счетном множестве точек, всюду плотном на [а, Ь]. В соответствии с этим в исследованиях сходимости интерполирования таких функций всегда предполагается, что узлы интерпо­

лирования

z\k)

(i = 0, 1,

k;

k = 0, 1, 2, ...)

лежат на

[а, Ь] также всюду плотно.

 

 

 

 

 

 

В рассматриваемой нами

задаче

таблица

узлов

интер­

полирования имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z = [ z°

21

гг

.

 

(9.3.24)

 

 

 

\ г0

г1

 

 

 

 

Строки

ее —отрезки

последовательности

узлов

г0, 2Ь

г2, . .. , [zft = (l -f khy1],

сходящейся к единственной

точке

сгущения

2 = 0.

Простейшим

и естественным

 

множеством

функций,

которые определяются

значениями

на

такой

Смотрите также файлы