Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf

AV t^ = 160 (б2- 15) cos б + 48 (5 - 202) sin 0.

§ 9.3. Вычислительные формулы, основанные на интерполировании рациональными функциями

9.3.1. Введение. Выбор интерполирования, его погреш­ ность. В начале главы мы обращали внимание на то, что интерполирование алгебраическими многочленами хотя и приводит к практически полезным вычислительным пра­ вилам, но не всегда является удобным средством для вычислений. Оно требует разбиения полуоси или оси интегрирования на бесконечное число конечных отрезков, количество которых зависит, в частности, от скорости

с этим считать, что областью интегрирования является полуось xs*0. Такое предположение не является ограни­ чением задачи, так как комплексное преобразование Фурье

л егк о п ри води тся к к о си н у с - и с и н у с -п р е о б р а зо в а н и я м .

Во-вторых, выбор зависит от свойств множества функций, подлежащих интерполированию. Выше мы условились рас­

X - * СО

такими свойствами, будем называть непрерывной на зам­ кнутой полуоси [0, оо] и предельное значение F (оо) считать ее значением в бесконечно удаленной точке.

Для приближения таких функций F могут быть приняты многие системы простейших функций, ограниченных на полуоси [0, оо). Чтобы сделать вычисления возможно более простыми, примем за основные функции систему

простых дробей ^ _ ^ т ( т = 0, 1, 2 , ...) и будем интер­

полировать при помощи многочленов от аргумента

гг

т ~ о

Такие многочлены в множестве функций F (х), непре­ рывных на замкнутой полуоси [0, оо], образуют полную систему в метрике С. В самом деле, преобразование

аргумента г = у ^ переводит полуось [0, оо] в замкнутый

отрезок [0, 1] оси г. Функция F (х), непрерывная на [0, оо], перейдет в функцию ф(г), непрерывную на [0, 1], рацио­ нальные функции Рп(х) перейдут в многочлены рп(z) от г. После этого остается сослаться на теорему Вейерштрасса о полноте множества алгебраических многочленов в классе функций, непрерывных на конечном замкнутом отрезке.

1 = 0

Bo внутренней сумме множители, стоящие перед (1 -\-х)~п+1, зависят только от узлов х,- (г' = 0, 1, п), и для упо­ требительных систем узлов они могут быть вычислены заранее и табулированы.

Обратимся теперь к исследованию погрешности интер­ полирования rn(x) = F (х) — Рп(х). Ее точные интегральные представления для классов функций достаточно высокой гладкости через производные от функции F построены для интерполирования по любой системе координатных функций *). Нужное нам представление может быть полу­ чено из этих общих результатов как частный случай. Но такой путь требует знания читателями общих результатов или их изложения авторами, что заняло бы много места, и мы предпочли получить необходимые представления иным, более коротким путем, воспользовавшись связью нашей задачи с интерполированием алгебраическими мно­ гочленами. Напомним, что если заменить переменную,

Функция F (х) преобразуется в некоторую функцию аргу­ мента г:

F ( x ) = f {- j - - 1 ) = ф ( 2 ) ,