Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 123
Скачиваний: 0
180 ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ [ГЛ. 9
последовательности, является множество аналитических функций, для которых все узлы интерполирования и пре дельная точка их лежат внутри области регулярности. На
таком множестве |
функций мы остановим свое |
внимание |
и будем считать, |
что функция ф (г) регулярна |
в области |
комплексной плоскости z, содержащей внутри себя отре зок [0, 1]. Чем шире будет эта область и чем дальше, следовательно, от [0, 1] будут лежать особые точки ф (г), тем более плавным будет поведение ф (г) на отрезке [0, 1] и тем более вероятной будет сходимость интерполирования
к |
ф(г) на [0, 1]. Поэтому |
естественно поставить |
вопрос |
о |
нахождении наименьшей |
области, регулярность ф (г) |
|
в |
которой обеспечивала бы |
такую сходимость. В |
теории |
интерполирования доказывается, что наименьшей такой
областью |
является |
замкнутый |
круг единичного радиуса |
|
с центром |
в начале |
координат*): |
|z|==£l, при этом схо |
|
димость в |
круге и, |
в частности, |
на |
его радиусе O i g r s g 1 |
будет равномерной. Мы не станем приводить доказатель ство этого результата и ограничимся только пояснением наглядной стороны существа вопроса, что можно сделать сравнительно просто.
Вопрос о сходимости определяется поведением интерпо лирующего многочлена pn(z) при больших значениях но мера п. Но если п велико, то подавляющее число узлов будет близко к предельной точке z = 0 и интерполирова ние будет близким к интерполированию с единственным узлом г = 0, имеющим кратность п. Последнее же дается отрезком ряда Тейлора
Sn(г) = ф(0) + yj-ф' (0) + ... + £ ф (п,(0).
Если множество функций характеризовать только областью регулярности и не делать никаких специальных предпо ложений о поведении функции в этой области, то сходи мость S„ ( г ) ф (z) на замкнутом отрезке [0, 1] можно, наверное, гарантировать только в том случае, когда ф (г) регулярна в круге | г | < ;1 .
Приведенные соображения, разумеется, нельзя считать доказательством нужного утверждения, но они, по мнению авторов, достаточно просто и наглядно подтверждают если не его справедливость, то его вероятность.
*) См., например, [6], гл. 12, § 2, стр. 237—242.
§ 9.3] ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ' |
181 |
Теперь возвратимся к старой переменной |
|
|
||||||
Функция ф(г) |
перейдет в функцию ф (z) = ф |
|
= -F (*)> |
|||||
регулярную в некоторой области, |
содержащей |
внутри себя |
||||||
замкнутую |
полуось |
О ^ х г ^ о о , |
в частности |
бесконечно |
||||
удаленную |
точку х = |
оо. |
Единичный |
круг | г | =^1 |
преоб |
|||
разуется в |
область 1 |
1 |
1, или |
| 1 -f- х | |
1, |
являю- |
||
-\-х\ |
||||||||
щуюся замкнутой внешностью круга радиуса |
1 с центром |
|||||||
в точке — 1. |
выше позволяет |
высказать |
следующее |
|||||
Изложенное |
||||||||
утверждение.
Когда функция F (х) является аналитической, регуляр
ной в области |
\ 1 + х | 5= 1, |
то интерполяционный процесс |
||||||||
для нее по равноотстоящимузлам xk = kh(k = 0, 1,...) |
при |
|||||||||
помощи многочлена Рп(а) степени п от |
|
(см. |
(9.3.4)) |
|||||||
сходится равномерно в указанной области. |
|
|
|
|
||||||
Это дает возможность сказать, что |
имеет место |
|
|
|||||||
Т е о р е м а |
2. |
Если функция F (х) |
регулярна в области |
|||||||
114- л: j ^ |
1 комплексной |
плоскости х, |
то |
вычислительный |
||||||
процесс, |
получающийся |
из равенства |
(9.3.23) |
при отбра |
||||||
сывании |
там |
остаточного |
члена Rn (и), |
сходится |
при |
|||||
п-+оо |
к фе(и) |
равномерно относительно |
и |
на |
оси |
|||||
—оо < и < со.
9.3.4.Интерполяционные правила вычислений, связан ные с корнями ортогональных многочленов. Сходимость интерполяционного квадратурного процесса с равноотстоя щими узлами (9.3.23) для очень узкого класса функций побудила строить другие правила вычислений, более бла гоприятные в отношении области сходимости и достаточно несложные в смысле вычислений. Можно стремиться также
ктому, чтобы они позволяли воспользоваться имеющимися числовыми таблицами. Такое построение может быть вы полнено несколькими путями, два из которых будут указаны в настоящем пункте и третий —в § 10.2.
При выборе вычислительного правила, если стремиться сохранить его интерполяционно-квадратурный тип, необ ходимо было считаться с известными результатами по теории интерполирования и теории квадратур. Выбор можно сделать на ,основе двух следующих соображений, первое из которых уже встречалось читателю в гл. 4.
182 |
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ |
[ГЛ. 9 |
I. При интерполировании на конечном отрезке, напри мер на [—1, 1], особенно благоприятными относительно сходимости являются такие таблицы узлов:
|
/2'0) |
|
\ |
|
|
|
|
|
/ |
г?' |
, |
|
(9.3. |
||
|
Z = г° |
i f j ' |
|
||||
|
z\2) |
21*12) |
|
|
|
|
|
которые имеют предельную |
плотность распределения |
Че |
|||||
бышева |
|
|
|
|
|
|
|
|
р (г) = 1 ( 1 - г * ) - 1/2. |
|
(9.3.26) |
||||
Например, |
интерполяционный |
процесс |
с такой |
табли |
|||
цей будет сходиться равномерно |
на отрезке [— 1, |
1] |
для |
||||
любой функции, аналитической на [— 1, 1], |
включая и его |
||||||
концы — 1 и |
1. |
|
|
|
|
|
|
Наиболее изученными таблицами такого рода являются таблицы корней ортогональных многочленов *). Большое значение для приложений имеют многочлены Якоби, от вечающие весовой функции
р(х) = (1- х ) а (1+х)Р (а, р > —1),
позволяющей учитывать степенные особенности на концах отрезка [—1, 1]. Среди них особенно важную роль в за даче интерполирования играют многочлены Чебышева пер вого рода. Интерполяционный процесс, в котором за узлы
принимаются |
корни такого многочлена степени п, сходится |
||
равномерно на [—1, 1] |
для всякой функции cp(z), модуль |
||
непрерывности которой |
со (б) |
удовлетворяет условию **) |
|
со (б) In б - у 0 (б —>- 0). |
|
|
|
В теории |
интерполирования |
доказывается также, что |
|
такой интерполяционный процесс будет, как упоминалось выше, равномерно сходиться к ср (г), если ср (г) есть абсо
лютно непрерывная на [—1, |
1J функция. |
|
|
II. В теории приближенных квадратур известно, |
что |
||
при |
вычислении интеграла |
с весовой функцией можно |
|
*) |
Известно, что если весовая |
функция р (г) почти везде на |
от |
резке |
[—1, 1] положительна, то таблица корней соответствующей ей |
|||||
системы ортогональных многочленов |
всегда имеет предельную плот |
|||||
ность |
распределения |
(9.3.26). |
|
|||
**) |
См. |
И. |
П. |
Н а т а н с о н , Конструктивная теория функций, |
||
гл. Ill, |
§ 1, |
М., |
Гостехиздат, 1949, |
стр. 542. |
||
§ 9.3] ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ |
183 |
в вычислительной формуле *)
Ь |
п |
|
\p(z)y{z)dzf*=i 2 Ak<f(Zk) |
(9.3.27) |
|
a |
k =1 |
|
значительно увеличить |
алгебраическую степень |
точности, |
если специальным образом вычислять узлы zk в |
формуле |
|
и коэффициенты Ак, а именно доказывается, что если ве
совая |
функция р (г) знакопостоянна, то при помощи вы |
|||
бора |
zk и |
Ак равенство |
(9.3.27) можно сделать выпол |
|
няющимся |
точно, когда <р (г) есть произвольный многочлен |
|||
степени |
2п— 1, при этом |
zk и Ak определяются единствен |
||
ным образом: zk должны |
быть корнями многочлена Pn(z) |
|||
степени |
п из ортогональной системы многочленов, отве |
|||
чающей |
весу р (г), и |
|
||
рп (г) dz.
а(г~ гк) Рп (h)
Последнее означает, что правило квадратур (9.3.27) должно быть интерполяционным.
Отметим также, что формула (9.3.27) сходится в очень широком множестве функций: если отрезок [а, Ь] конеч ный, весовая функция знакопостоянна на нем и не экви валентна нулю, то для сходимости
п |
Ь |
|
2 Ак ф (zk) |
$ р (г) ф (г) dz |
(п -> сю) |
k —1 а
достаточно, чтобы ср (г) была ограниченной и множество точек разрыва ее имело меру нуль. Обратимся к интегралу Фе(и) (9.3.15) и возьмем его в форме
Си |
|
|
(fe (и) = J eiuxF (*) |
(s> 1). |
(9.3.28) |
о |
|
|
Функцию F (х) будем, как и выше, считать непрерыв ной и достаточно гладкой на замкнутой полуоси [0, со]. Множитель (1 + x)~s имеет единственную особенность — нуль
*) BeG р (г) предполагается таким, что интегралы
ь
^ р (г) гт dz (ш = 0 ,1 ,...)
й
являются абсолютно сходящимися.