Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 125

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

170

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ

[ГЛ. 9

узлы

интерполирования

хк перейдут в узлы zk = {\-\-xky 1

(1 ^ г о> г 1> . . . > 2„ >

0), и на оси г получим

задачу

интерполирования ф (г) многочленом (9.3.8). Погрешность интерполирования в этой новой задаче совпадает с погреш­ ностью гп(х)\

Рп(2) = Ф (z) — Рп (2) = F(x)— Рп {х) = Гп (х).

Но выражение для остатка рл (г) хорошо известно.

Воспользуемся

формулой

Тейлора

для ф (г), считая, что

ф(г)

имеет

на

[0, 1] непрерывную

производную порядка

п + 1 :

 

 

 

 

 

 

 

Ф (г) =

ф(1) +

(2 -

1)ф' (1) +

.. .+ ^ (г -1 )» Ф < я) (1) +

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

+

"j

^ я}э(/г+1) (т) (z — х)п dx =

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ П„ (г) + ("

^ Д+1

ф(я+1) (т) (т - z)n dx =

 

 

 

 

 

z

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= Пл(г) +

 

1 ^ ф(га+1) (т) (т — z)n Е (т — г) dx.

 

/

 

 

 

 

«

 

Многочлен

Пл интерполируется

точно, и рл (г) совпа­

дает с погрешностью интерполирования интегрального

члена.

Так

как

 

 

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рл (г =

ф (2) —

J ] Л*(г)ф(г*),

 

 

 

 

 

 

&—О

п

 

 

Ak {z) =

 

 

 

 

 

 

 

Q (z)=П (г -

 

то

 

 

 

 

 

 

; = 0

 

 

 

1

 

,

 

 

 

 

 

 

 

z f Е { т - г ) ~

 

Рл (2) =

Ц

р

J ф("+1) (г) (т -

 

 

 

 

0

 

*

 

 

 

 

 

-

п

K { z ) ( x - z k)nE { x - z k)JrfT.

 

 

 

£

(9.3.9)

 

 

 

fc = o

 

 

 

 

 

Для получения гп (х)

возвратимся к

прежней

числовой

оси х.

Положим

т =

Р у ,

t = ^r— 1.

Ввиду

того, что


§ 9.3] ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

171

dx = — ^ _|_^2

между операторами дифференцирования

по т и по t верно равенство

 

 

 

a h - O

+ O ’ a .

(9.3.Ю)

Применив

его п + 1 раз

к функции ф ( т )= /:'(/), полу­

чим следующее правило вычисления производной по пере­ менной т:

¥ ш) W = ( - 1 Г 1 (1 + t f А (1+ t f | ... (i + t f ± F (t).

Легко можно видеть, что после выполнения дифферен­ цирования получится равенство приводимого ниже вида, в котором мы не станем сейчас вычислять коэффициенты

Hi, ..., ап;

XjjU+l) _

(— 1)л+1 (1

^n+X

1 _|_ /)я+1 /Нга+1) (f)

 

 

+

Ях (1 + t f FM (t) +

а2 (1 + t f - 1

(/) + ...

 

 

... + ап_i (1 +

t f F" (t) + an(1 + 0 F' (0] =

 

 

= ( - l)«+i(l +ty-11Ln+i(F).

(9.3.11)

Рассмотрим дифференциальное уравнение ф(л+1)(т) = 0. Общее его решение есть многочлен от т степени п с про­ извольными коэффициентами, в качестве же полной системы

независимых решений

можно взять

1, т, т2.........хп.

Этому уравнению эквивалентно

уравнение

 

Ln+1(F) = (l + ()n+1 F<л+1) (t) + ах (1 + t f Я»> (t) +

 

+ п2 (1 + t f - 1F

^

(t) + .. ,+

аЛ 1 + t)F'

(t) = 0.

(9.3.12)

Оно

является

уравнением

Эйлера *)

с

особыми точ­

ками t = — 1 и t = оо. Полная система « +

1 линейно неза­

висимых

решений его, в которые при преобразовании

г = (1 +

переходят

степени

 

т' (/ = 0, 1,..., п),

есть 1,

(1 -ff)-1,

(1+ 0 "2. •••>

(1-W)- ".

Это

дает

возможность

указать

простой путь для

вычисления

о,-( /= 1, 2 , . . . , л).

Если

записать

уравнение

(9.3.12) и затем присоединить

к нему результаты

подстановок

в него

решений

(1 + 0 ~ \

*) Уравнение Эйлера порядка п с особыми точками х = 0 и * = 0 0

есть

A0xny<n>+ A1xn - 1y tn~1)Jr--- + Any ^ O .

 

 

 

 

 

Уравнение (9.3.12) отличается от него

заменой

переменной

* = 1 -|-/.


172

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ

[ГЛ. 9

(1+ 0 -2. • • •. (1

получится, после некоторых

упро­

щений, следующая система п -\-1 равенств:

 

+

 

+

+t)nF ^ +

 

 

 

+ а2 (1 + /у -у * » -1) + . . . + ал (1 + ОF' = О,

(я +

1)1 — ахп\ + а2(п — 1)! —...

+

(— 1)па1П = 0,

(л +

2)! —ах(/г + 1)! + а2п\ —...

+

(— 1)па12! = 0 ,

(2л)! - ах(2л -

1)! + а2(2л -

2)! - . . .

+

(— 1 )пахп\ =

0.

Ее можно рассматривать как однородную линейную систему уравнений относительно величин 1, аъ а2, ..., а„, обра­ зующих ненулевое решение системы. Определитель системы должен обращаться в нуль, что дает иную запись урав­ нения (9.3.12):

(1 _ |_ ^ л + 1 д т + и

 

+

""а 1

*5

( « + В '

- л 1

( « — 1)1

(« 4 -2 )1

- ( « + ! ) !

 

п\

 

а 1

< 1 + Q

f '

..

(— I)»

11

..

(— 1)л 2!

(2я)1 — (2/г — 1)! ( 2 л - 2 ) 1 .. (— 1)« п!

(9.3.13)

Если разложить определитель по элементам первой строки, должно получиться уравнение, отличающееся от (9.3.12) постоянным множителем. Поэтому коэффициенты alt а2, ...

должны быть равны соответственно отношению алгебраи­ ческих дополнений элементов первой строки детерминанта (9.3.13), начиная со второго, к алгебраическому дополне­ нию первого элемента строки. Это необходимо сделать, так как в (9.3.12) коэффициент при производной высшего порядка приведен к ( l- f /) 'J+1.

Возвратимся теперь к преобразованию интеграла (9.3.9)

к старым переменным х, t и положим т = у - ^ , 2 = у-р^.

При этом ф(л+1)(т)

перейдет

в (— l)ra+1 (1 + t)n+1Ln+1(F).

По поводу ядра

интеграла

(9.3.9), стоящего в фигур­

ных скобках, полезно сделать предварительное замечание, поясняющее его значение. Мы присоединим к ядру мно­ житель (/г!)-1.

В функции (т — z)n Е (т — г) будем рассматривать г

как независимую переменную и т —как параметр. При


§ 9.31

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

173

г < т ,

когда Е (т — z) =

1, эта

функция есть решение урав-

нения

^

= 0, удовлетворяющее

в точке г = т условиям

У(т) =

у' (т) = ■• • =

(т) = 0

и

г/(л)(т )= 1 . При

г > т ,

когда

Е (т — z) = 0, это решение

продолжено тождествен­

ным нулем.

Само же

ядро есть

погрешность интерполи­

рования такой функции алгебраическим многочленом сте­

пени п по значениям в узлах zk

(ft = 0,

1,...,

п).

В переменных *, t

отдельные

части

ядра

будут иметь

следующие выражения:

 

 

 

 

<*-*>" = \ ] + ,

1 -j-x

( x - t y

 

(1+0* (1+*)" ’

 

x — t

= E ( x - t ) ,

 

 

( г - г 0) ... ( z - z fe_t) ( z - z ft+ 1) ...

( г - г д)

Л А (2) = (zA- z 0) ... (zk—zk_{) (г* — zk+ 1) ...

(гк — гл)

Иv1+ х 1+

1

II \1+ хк 1+ х/

/ фк

(1 +хкУ

 

. ( х )

(1 +*)" (*-**) “ ;+i(**)’

 

J«+1=

Д

 

 

at

 

 

 

 

dr

 

 

 

 

/ = о

 

О+ О2'

 

 

 

 

 

 

 

Подстановка их в интеграл (9.3.9) дает для погреш­

ности интерполирования гп(х)

приводимое ниже

значение

Гп (*)“

 

 

 

 

(.x - t ) nE ( x - t ) -

 

^ L*+l(/?)nl(l + х }

 

 

 

 

Мп+1 (*)

(хк) (хк -

dt

 

 

(х — хк) Юп + 1

t f Е (хк - 1) 1 -\~t

(9.3.14)

Величина, стоящая

внутри

фигурных скобок под зна­

ком интеграла,

есть

не что иное, как погрешность алге­

браического интерполирования

по переменной х

функции

(x — t)nE(x — i)

по

значениям

ее в узлах хк.

Когда t

меньше

х, х0, ...,

хп, то интерполирование точное и вели­

чина в

фигурных

скобках в (9.3.14) обращается

в нуль.

Когда же t больше х, х0.........хя, все «гасящие» функции E(x — i), E(xk — t) равны нулю, и она также равна нулю. Величина в фигурных скобках может принимать значения,


сре:

174

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ

[ГЛ. 9

отличные

от нуля, только на отрезке,

где располага­

ются х, х0........х„. Поэтому интеграл по полуоси 0 «s; t < со, при условии непрерывности Ln+1(/), является, по сути дела, собственным.

9.3.2. Общее интерполяционное квадратурное правило. Для удобства записи объединим косинус- и синус-преобра­ зования Фурье в одном интеграле с показательной функ­ цией

00

 

Фе (и) = \ eiuxf (х) dx.

(9.3.15)

о

 

Если / есть действительная функция, косинус- и синуспреобразования / будут соответственно действительной и мнимой частью <ре(и).

Выше предполагалось, что f(x) = F (х) (1 + * ) 's ( s > 1) и F (х) есть непрерывная и достаточно гладкая функция на полуоси 0 s=S х г^оо.

Интерполируем функцию F при помощи многочлена Р„(х) степени п от (1+л:)-1 и запишем Рп(х) в форме

(9.3.7).

Заменив в интеграле (9.3.15) оригинал f его выраже­ нием

/(*) = (! + *)'*^(*) = 0 +x)-s [Pn{x) + rn(*)],

получим для ц>е (и) следующее представление, которое после отбрасывания остаточного члена Rn может служить вычислительным правилом для

фе(«) =

5 eiax (1 + x)~sF (х) dx —

 

 

о

 

 

 

 

ОО

 

 

 

=

J eiux (1 +

л:)-s [Pn (х) + rn {х)] dx =

 

2 F ^

J ^

0+**)"_ х

■(9.3.16)

 

2

со' (ж*)

 

к= 0

( = 0

 

 

 

00

 

 

 

 

X ^ ё их{\-\-x)~n+l~s dx

Rn(u),

Rn(u) =J e ***(\+ x ) - s ra {x)dx.