Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 125
Скачиваний: 0
170 |
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ |
[ГЛ. 9 |
|
узлы |
интерполирования |
хк перейдут в узлы zk = {\-\-xky 1 |
|
(1 ^ г о> г 1> . . . > 2„ > |
0), и на оси г получим |
задачу |
интерполирования ф (г) многочленом (9.3.8). Погрешность интерполирования в этой новой задаче совпадает с погреш ностью гп(х)\
Рп(2) = Ф (z) — Рп (2) = F(x)— Рп {х) = Гп (х).
Но выражение для остатка рл (г) хорошо известно.
Воспользуемся |
формулой |
Тейлора |
для ф (г), считая, что |
||||
ф(г) |
имеет |
на |
[0, 1] непрерывную |
производную порядка |
|||
п + 1 : |
|
|
|
|
|
|
|
Ф (г) = |
ф(1) + |
(2 - |
1)ф' (1) + |
.. .+ ^ (г -1 )» Ф < я) (1) + |
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
+ |
"j |
^ я}э(/г+1) (т) (z — х)п dx = |
||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ П„ (г) + (" |
^ Д+1 |
ф(я+1) (т) (т - z)n dx = |
||||
|
|
|
|
|
z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Пл(г) + |
|
1 ^ ф(га+1) (т) (т — z)n Е (т — г) dx. |
||||
|
/ |
|
|
|
|
« |
|
Многочлен |
Пл интерполируется |
точно, и рл (г) совпа |
дает с погрешностью интерполирования интегрального
члена. |
Так |
как |
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рл (г = |
ф (2) — |
J ] Л*(г)ф(г*), |
|
||
|
|
|
|
|
&—О |
п |
|
|
|
Ak {z) = |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Q (z)=П (г - |
|
||||
то |
|
|
|
|
|
|
; = 0 |
|
|
|
1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
z f Е { т - г ) ~ |
|
|||
Рл (2) = |
Ц |
р |
J ф("+1) (г) (т - |
|
||||
|
|
|
0 |
|
* |
|
|
|
|
|
- |
п |
K { z ) ( x - z k)nE { x - z k)JrfT. |
|
|||
|
|
£ |
(9.3.9) |
|||||
|
|
|
fc = o |
|
|
|
|
|
Для получения гп (х) |
возвратимся к |
прежней |
числовой |
|||||
оси х. |
Положим |
т = |
Р у , |
t = ^r— 1. |
Ввиду |
того, что |
§ 9.3] ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ |
171 |
dx = — ^ _|_^2 |
между операторами дифференцирования |
||
по т и по t верно равенство |
|
|
|
|
a h - O |
+ O ’ a . |
(9.3.Ю) |
Применив |
его п + 1 раз |
к функции ф ( т )= /:'(/), полу |
чим следующее правило вычисления производной по пере менной т:
¥ ш) W = ( - 1 Г 1 (1 + t f А (1+ t f | ... (i + t f ± F (t).
Легко можно видеть, что после выполнения дифферен цирования получится равенство приводимого ниже вида, в котором мы не станем сейчас вычислять коэффициенты
Hi, ..., ап;
XjjU+l) _ |
(— 1)л+1 (1 |
^n+X |
1 _|_ /)я+1 /Нга+1) (f) |
|
|
+ |
Ях (1 + t f FM (t) + |
а2 (1 + t f - 1 |
(/) + ... |
|
|
|
... + ап_i (1 + |
t f F" (t) + an(1 + 0 F' (0] = |
|
||
|
= ( - l)«+i(l +ty-11Ln+i(F). |
(9.3.11) |
Рассмотрим дифференциальное уравнение ф(л+1)(т) = 0. Общее его решение есть многочлен от т степени п с про извольными коэффициентами, в качестве же полной системы
независимых решений |
можно взять |
1, т, т2.........хп. |
||||||||||
Этому уравнению эквивалентно |
уравнение |
|
||||||||||
Ln+1(F) = (l + ()n+1 F<л+1) (t) + ах (1 + t f Я»> (t) + |
|
|||||||||||
+ п2 (1 + t f - 1F |
^ |
(t) + .. ,+ |
аЛ 1 + t)F' |
(t) = 0. |
(9.3.12) |
|||||||
Оно |
является |
уравнением |
Эйлера *) |
с |
особыми точ |
|||||||
ками t = — 1 и t = оо. Полная система « + |
1 линейно неза |
|||||||||||
висимых |
решений его, в которые при преобразовании |
|||||||||||
г = (1 + |
переходят |
степени |
|
т' (/ = 0, 1,..., п), |
есть 1, |
|||||||
(1 -ff)-1, |
(1+ 0 "2. •••> |
(1-W)- ". |
Это |
дает |
возможность |
|||||||
указать |
простой путь для |
вычисления |
о,-( /= 1, 2 , . . . , л). |
|||||||||
Если |
записать |
уравнение |
(9.3.12) и затем присоединить |
|||||||||
к нему результаты |
подстановок |
в него |
решений |
(1 + 0 ~ \ |
||||||||
*) Уравнение Эйлера порядка п с особыми точками х = 0 и * = 0 0 |
||||||||||||
есть |
A0xny<n>+ A1xn - 1y tn~1)Jr--- + Any ^ O . |
|
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||
Уравнение (9.3.12) отличается от него |
заменой |
переменной |
* = 1 -|-/. |
172 |
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ |
[ГЛ. 9 |
||||
(1+ 0 -2. • • •. (1 |
получится, после некоторых |
упро |
||||
щений, следующая система п -\-1 равенств: |
|
|||||
+ |
|
+ |
+t)nF ^ + |
|
|
|
|
+ а2 (1 + /у -у * » -1) + . . . + ал (1 + ОF' = О, |
|||||
(я + |
1)1 — ахп\ + а2(п — 1)! —... |
+ |
(— 1)па1П = 0, |
|||
(л + |
2)! —ах(/г + 1)! + а2п\ —... |
+ |
(— 1)па12! = 0 , |
|||
(2л)! - ах(2л - |
1)! + а2(2л - |
2)! - . . . |
+ |
(— 1 )пахп\ = |
0. |
Ее можно рассматривать как однородную линейную систему уравнений относительно величин 1, аъ а2, ..., а„, обра зующих ненулевое решение системы. Определитель системы должен обращаться в нуль, что дает иную запись урав нения (9.3.12):
(1 _ |_ ^ л + 1 д т + и |
|
+ |
""а 1 |
*5 |
( « + В ' |
- л 1 |
( « — 1)1 |
||
(« 4 -2 )1 |
- ( « + ! ) ! |
|
п\ |
|
а 1
• |
< 1 + Q |
f ' |
.. |
(— I)» |
11 |
.. |
(— 1)л 2! |
(2я)1 — (2/г — 1)! ( 2 л - 2 ) 1 .. (— 1)« п!
(9.3.13)
Если разложить определитель по элементам первой строки, должно получиться уравнение, отличающееся от (9.3.12) постоянным множителем. Поэтому коэффициенты alt а2, ...
должны быть равны соответственно отношению алгебраи ческих дополнений элементов первой строки детерминанта (9.3.13), начиная со второго, к алгебраическому дополне нию первого элемента строки. Это необходимо сделать, так как в (9.3.12) коэффициент при производной высшего порядка приведен к ( l- f /) 'J+1.
Возвратимся теперь к преобразованию интеграла (9.3.9)
к старым переменным х, t и положим т = у - ^ , 2 = у-р^.
При этом ф(л+1)(т) |
перейдет |
в (— l)ra+1 (1 + t)n+1Ln+1(F). |
По поводу ядра |
интеграла |
(9.3.9), стоящего в фигур |
ных скобках, полезно сделать предварительное замечание, поясняющее его значение. Мы присоединим к ядру мно житель (/г!)-1.
В функции (т — z)n Е (т — г) будем рассматривать г
как независимую переменную и т —как параметр. При
§ 9.31 |
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ |
173 |
||||
г < т , |
когда Е (т — z) = |
1, эта |
функция есть решение урав- |
|||
нения |
^ |
= 0, удовлетворяющее |
в точке г = т условиям |
|||
У(т) = |
у' (т) = ■• • = |
(т) = 0 |
и |
г/(л)(т )= 1 . При |
г > т , |
|
когда |
Е (т — z) = 0, это решение |
продолжено тождествен |
||||
ным нулем. |
Само же |
ядро есть |
погрешность интерполи |
рования такой функции алгебраическим многочленом сте
пени п по значениям в узлах zk |
(ft = 0, |
1,..., |
п). |
|
В переменных *, t |
отдельные |
части |
ядра |
будут иметь |
следующие выражения: |
|
|
|
|
<*-*>" = \ ] + , |
1 -j-x |
( x - t y |
|
|
(1+0* (1+*)" ’ |
||||
|
x — t |
= E ( x - t ) , |
||
|
|
( г - г 0) ... ( z - z fe_t) ( z - z ft+ 1) ... |
( г - г д) |
Л А (2) = (zA- z 0) ... (zk—zk_{) (г* — zk+ 1) ... |
(гк — гл) |
Иv1+ х 1+ |
1 |
II \1+ хк 1+ х/ |
|
/ фк |
(1 +хкУ |
|
. ( х )
(1 +*)" (*-**) “ ;+i(**)’
|
J«+1= |
Д |
|
|
at |
|
|
|
|
|
dr |
|
|||
|
|
|
/ = о |
|
О+ О2' |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подстановка их в интеграл (9.3.9) дает для погреш |
|||||||
ности интерполирования гп(х) |
приводимое ниже |
значение |
|||||
Гп (*)“ |
|
|
|
|
(.x - t ) nE ( x - t ) - |
|
|
^ L*+l(/?)nl(l + х } |
|
|
|||||
|
|
Мп+1 (*) |
(хк) (хк - |
dt |
|
||
|
(х — хк) Юп + 1 |
t f Е (хк - 1) 1 -\~t |
(9.3.14) |
||||
Величина, стоящая |
внутри |
фигурных скобок под зна |
|||||
ком интеграла, |
есть |
не что иное, как погрешность алге |
|||||
браического интерполирования |
по переменной х |
функции |
|||||
(x — t)nE(x — i) |
по |
значениям |
ее в узлах хк. |
Когда t |
|||
меньше |
х, х0, ..., |
хп, то интерполирование точное и вели |
|||||
чина в |
фигурных |
скобках в (9.3.14) обращается |
в нуль. |
Когда же t больше х, х0.........хя, все «гасящие» функции E(x — i), E(xk — t) равны нулю, и она также равна нулю. Величина в фигурных скобках может принимать значения,
174 |
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ |
[ГЛ. 9 |
отличные |
от нуля, только на отрезке, |
где располага |
ются х, х0........х„. Поэтому интеграл по полуоси 0 «s; t < со, при условии непрерывности Ln+1(/), является, по сути дела, собственным.
9.3.2. Общее интерполяционное квадратурное правило. Для удобства записи объединим косинус- и синус-преобра зования Фурье в одном интеграле с показательной функ цией
00 |
|
Фе (и) = \ eiuxf (х) dx. |
(9.3.15) |
о |
|
Если / есть действительная функция, косинус- и синуспреобразования / будут соответственно действительной и мнимой частью <ре(и).
Выше предполагалось, что f(x) = F (х) (1 + * ) 's ( s > 1) и F (х) есть непрерывная и достаточно гладкая функция на полуоси 0 s=S х г^оо.
Интерполируем функцию F при помощи многочлена Р„(х) степени п от (1+л:)-1 и запишем Рп(х) в форме
(9.3.7).
Заменив в интеграле (9.3.15) оригинал f его выраже нием
/(*) = (! + *)'*^(*) = 0 +x)-s [Pn{x) + rn(*)],
получим для ц>е (и) следующее представление, которое после отбрасывания остаточного члена Rn может служить вычислительным правилом для
фе(«) = |
5 eiax (1 + x)~sF (х) dx — |
|
||
|
о |
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
= |
J eiux (1 + |
л:)-s [Pn (х) + rn {х)] dx = |
||
|
2 F ^ |
J ^ |
0+**)"_ х |
■(9.3.16) |
|
2 |
со' (ж*) |
||
|
к= 0 |
( = 0 |
|
|
|
00 |
|
|
|
|
X ^ ё их{\-\-x)~n+l~s dx |
Rn(u), |
Rn(u) =J e ***(\+ x ) - s ra {x)dx.