Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 118
Скачиваний: 0
§ 9.3] ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ |
189 |
в (9.3.35), |
вычисление <ре (и) будет приведено к нахожде |
||||||
нию нескольких |
простых |
интегралов, зависящих от и и s: |
|||||
п |
|
п- 1 |
I . i - t |
|
|
|
|
Ф«(И) = 2 |
|
2 alA)21' S J |
1+ ' (1 + |
/)*+'—2 Л -Р (и). |
|||
a = i |
|
г=о |
- 1 |
|
|
|
(9.3.36) |
|
|
|
|
переменной х |
|||
После |
возвращения |
к |
равенства |
||||
(9.3.35 — 36) будут следующими: |
|
|
|
||||
|
п |
СО |
|
|
|
|
|
фе (и) = |
2 F (xk) jj eil,xlk{х) |
( У ^ р + |
Rn (и), |
(9.3.37) |
|||
|
А= 1 |
О |
|
|
|
|
|
где R„(u) = R$(u). |
|
|
|
|
|
||
Если lk {х) разложить |
по степеням 1+** |
|
|||||
|
|
|
в>я (*) |
|
п—1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
&}*>(1+*)Л |
||
|
|
(х - |
хк) ю' (ж*) |
||||
|
|
1= |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
то после почленного интегрирования представление ц>е (и) примет вид
Ф* («) = 2 |
f (Xk) 2 |
5 |
(1 +*)-*-* dx + Rn (и). |
k=l |
1=0 |
о |
(9.3.38) |
|
|
|
|
О вычислении |
интегралов, |
стоящих справа, будет сказано |
|
в следующем пункте, сейчас же в нескольких строках скажем о выборе параметров а , (3 веса Якоби. В проти воположность формуле (9.3.30), когда выбор узлов был согласован с характером убывания f(x) (х->оо), свое
внимание уделим сейчас интерполированиюф*(0 = Е ( | ^ ) .
В принятых |
предположениях |
ф* (t- может быть |
про |
|||
извольной |
непрерывной |
и достаточно гладкой |
на [— 1, 1] |
|||
функцией. |
Поэтому в первую очередь должны быть |
рас |
||||
смотрены |
многочлены |
Чебышева |
первого |
рода |
Тп (t) |
|
(п= 1,2,...), и |
корни |
многочлена |
степени п приняты за |
|||
узлы интерполирования. Многочлены Т„ (х) являются
частным |
случаем |
многочленов Якоби при |
а = р = — 1/2. |
|
Таблица |
значений |
коэффициентов |
в (9.3.38) для узлов |
|
Чебышева приведена в книге [7] |
(табл. IV). |
|
||
Несколько меньшее, но все же большое значение имеет |
||||
случай, |
когда за |
узлы интерполирования |
принимаются |
|
190 |
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ |
[ГЛ. 9 |
корни |
многочлена Лежандра степени п. Значение выбора |
|
таких |
узлов связано с тем, что интерполяционные |
квад |
ратурные формулы с этими узлами имеют наивысшую степень точности при постоянной весовой функции и явля ются весьма полезными при интегрировании функций без
особенностей. Таблица коэффициентов |
для таких узлов |
||||||||
приведена в той же |
книге |
[7] |
(табл. III). |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СО |
9.3.5. |
О |
вычислении |
интегралов |
/ т + 0 = ^ eiax X |
|||||
|
-\-х)~т~айх. В |
рассматриваемом |
|
о |
|||||
Х ( 1 |
интеграле т есть |
||||||||
целое неотрицательное |
число |
и 0 ос < 1. |
Мы получим |
||||||
правило |
вычислений |
лишь для интегралов с показатель |
|||||||
ной |
функцией |
ё их. |
Сходные |
правила |
для |
интегралов |
|||
с тригонометрическими функциями cos их и sin их полу чатся из него, если разделить в нем вещественную и мни мую части.
Можно построить рекуррентное правило для уменьшения значения т, воспользовавшись интегрированием по частям:
dx
' т + а = 1 еш (1 +*)"*+“
|
iu |
СО |
dx |
(т—1+ а) (14-x)m 1+“ |
Р |
||
i— 1 -f-а |
J |
(1 + *)m-i+a |
|
|
|
|
00 |
_ 1 |
. |
iu |
m — \-\-a ' |
m — l - f a |
|
о
0 i u x , |
dx |
|
Jm+a = m—1+cc + m—1 + a J m-i+a- |
(9.3.39) |
Это соотношение позволяет ограничиться получением пра вил для вычисления Ja (0< ос< ;1).
Преобразуем Ja заменой переменной \-\-x = t\
|
СО |
|
|
d\t_ |
|
|
fa = eriu J , i u t |
|
Когда a = l , |
получится равенство |
|
Jj — б |
sin ut dt |
|
|
___ 0-W |
si (u)J. (9.3.40) |
|
e~iu[ci (w) + 1 |
§ 9.31 |
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ |
191 |
|||||||||
Здесь |
ci (и) и si (и) —интегральные косинус |
и синус, |
для |
||||||||
которых |
составлены подробные |
числовые таблицы. |
При |
||||||||
О < а < |
1 из приводимых ниже равенств получается нуж |
||||||||||
ное |
правило |
для |
вычисления |
рассматриваемого инте |
|||||||
грала *): |
|
со |
|
со |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
\ e iux% = |
|
Ха ’ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
^ ‘•“- g |
= |
u“- i r ( l - a ) e£2 (,- a,i u > |
0, |
(9.3.41) |
||||
|
1- |
О |
|
00 |
1 |
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
00 |
|
А= 0 |
|
k=0 k\ (k+ 1 —a ) 1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
||
Ja = |
5 ew* j y ~ |
= |
(1 - a) e I* 0 _a)H |
+ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
+ tria 2 |
|
m k |
|
(9.3.42) |
|
|
|
|
|
|
|
|
fel (ft-j-l —a ) ' |
||||
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
Б. |
*) |
О |
соотношении (9.3.41) см. в книге: М. А. Л а в р е н т ь е в и |
||||||||
В. |
Ш а б а т , |
Методы теории функций комплексного переменного. |
|||||||||
М., |
«Наука», 1973. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Г Л А В А 10
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ, ИМЕЮЩИЕ НАИВЫСШУЮ
|
СТЕПЕНЬ ТОЧНОСТИ |
|||
|
|
§ |
10.1. Введение |
|
Задачи |
о построении формул наивысшей степени точ |
|||
ности для |
косинус- |
и синус-преобразований Фурье изу |
||
чаются сходным путем, но имеют различные решения. |
||||
Будем |
считать |
оригинал |
f(x) представимым в виде |
|
f(x) = (1 + |
x)~s F (х), |
где s > |
1 и функция F (х) непрерывна |
|
на полуоси O sgxscoo .
Рассмотрим косинус-преобразование Фурье
Фс (и) = |
СО |
СО |
|
Jj / (X) COS u x d x = |
Л |
F (х) dx. |
|
|
о |
о v |
|
Множитель |
(1 + x)~s cos их примем |
за весовую функ |
|
цию и будем строить для вычисления интеграла квадратур ную формулу вида
со п
|
|
Л щ |
^ |
м ^ |
2 |
AkF{Xk)■ |
(10ЛЛ) |
|
|
О |
|
|
|
А = 1 |
|
Она |
имеет 2п параметров Ак и xk, и их можно |
пытаться |
|||||
выбрать так, |
чтобы |
равенство (10.1.1) выполнялось точно, |
|||||
когда F (х) есть произвольный |
многочлен от ( l+ x ) -1 сте |
||||||
пени |
2п — 1, |
или, |
что равносильно, для 2п простых дро |
||||
бей |
(l-fx)~‘ |
(i = 0, 1 ,..., 2п— 1) |
выполнялись |
соотно |
|||
шения |
|
|
|
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
п |
|
|
|
5 (1 +*)-»-<cosu x d x = |
21 |
Л* О + x ky ‘ |
(10.1.2) |
|||
|
о |
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
0 = |
0, 1........ 2 л - |
1). |
|
|
Эти равенства образуют систему 2п уравнений для нахождения параметров, линейную относительно Ак и