Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf

§ ЮЛ)

ВВЕДЕНИЕ

193

нелинейную относительно

хк. Если ее

решить, то

уже

при небольших значениях

п окажется,

что узлы хк будут

лежать вне полуоси интегрирования [0, оо).

Причиной такого недостатка является знакоперемен-

ность *) весовой функции

(1 + x )_s cos их, и, чтобы

осво­

помощи

элементарного

преобразования:

СО

СО

0 0

$ cos uxf (х) dx =

$ (1 +

cos их) f(x)dx— $ / (x) dx = Pc— Pc.

о

о

о

Интеграл Pc имеет простую форму

и преобразованием

х =

приводится

к

интегралу

с

весовой

функцией

Якоби

с параметрами

0,

s —2:

00

00

1

« =

I

> м * -

S т Ш р * -

\ F ( ш ) 0 +

0 - <#•

0

0

-1

СО

ОО

И = 5 ( l + c o s x ) ^ f ( £ ) d x =

( l + c o s * ) * ( * ) f i f r ,

о

о

(10.1.3)

х м - i f

а ) -

*) В теории квадратурных правил наивысшей алгебраической

степени точности,

к

которым приводится наша задача путем замены

переменной * —

,

известно, что

если весовая функция знако­

С

1+ COS X

р

(v\dx —

j

(l-j-^an-i+s

г 2п-1\л/ ил

о

п

п

= 2

Ргпг- 1 Ы = 2 BkPtn-iiXb). (10.2.2)

А= 1

А=1

b

п

\p {x )f{x )d x ^

^ B kf{xk).

(10.2.3)

a

k ~ l

Для того чтобы формула

(10.2.3) была

точной для

всех многочленов степени 2п — 1,

необходимо и достаточно

выполнение условий:

1) коэффициенты Вк имеют значения

ь

* » - S g w

(* .)'* •

<io-2'4>

а

п

ь

\p(x)a(x)Q(x)dx = 0.

(10.2.5)

а

196

ФОРМУЛЫ

НАИВЫСШЕЙ

СТЕПЕНИ

ТОЧНОСТИ

{ГЛ. 10

ч л ен о в

степ ен и

н е

в ы ш е

2 л — 1. Р а с с м о т р и м

м н о го ч л е н

со ,(х ) =

(л:—X j) со

;

. О н

и м е ет

с т е п е н ь

л — 1,

и д л я

н его

(XyJ

д а е т с л е д у ю щ и м и с в о й с т в а м и :

co y(xft) = 0

п р и /г Ф / , и

СОу (ЛГу) = 1. П о э т о м у

ИЗ ( 1 0 .2

.3 )

ДЛЯ СОу(х) д о л ж н о п о л у ­

ч и т ь с я р а в е н с т в о

Ь

п

$ р (х) СО/ (х ) с/х = 2

BftCDy ( х /;) =

£ у ,

О

=

l

а

т а к к а к / (хк) = со ( х *) Q (хк) = 0 • Q ( х *) = 0 , т о (1 0 .2 .3 )

с о в п а д а е т с (1 0 .2 .5 ) .

м н о го ч л е н f (х) ст еп ен и 2 л — 1. Р а з д е л и в е г о

п о об ы ч н ы м

п р а в и л а м а л г е б р ы н а со (х ), м о ж н о п р е д с т а в и т ь f в ви д е

f (x) =

со (x )Q (х )

г (х ), где Q ( x ) и

г (х ) — м н о го ч л е н ы

с т е ­

пени

не в ы ш е л — 1.

В в и д у

со (х Л) = 0

и м еем

f { x k) — r ( x k),

с л е д о в а т е л ь н о ,

ь

ь

ь

5 Р (х ) / (х ) dx = \ p (х ) со (х ) Q ( x ) d x + \ p (х ) г (х ) с/х.

а

а

а

П е р в ы й

и з

и н т е г р а л о в

п р а в о й

ч асти р а в е н с т в а

р а в е н

н у л ю по у с л о в и ю о р т о г о н а л ь н о с т и .

Т а к к а к п о п е р в о м у

у с л о в и ю п р а в и л о ( 1 0 .2 .3 )

я в л я е т с я и н те р п о л я ц и о н н ы м ,

о н о то ч н о

д л я

в с я к о г о м н о го ч л е н а

степ ен и

п — 1, в

ч а с т ­

н ости

д л я

г (х ),

т а к

ч то

\ p ( x ) r { x ) d x =

Bk г (xk) =

B kf { x k).

П о э то м у

4= 1

4 = 1

] p ( x ) f ( x ) d x = j p

B kf (xk)

4 = 1

пени,

для которого (10.2.3) не может быть точным.

Рас­

смотрим f (х) — и>2 (х).

Это — многочлен степени 2п. Левая

часть равенства (10.2.3) для него,

по

причине знакопо-

стоянства веса р(х),

отлична от нуля, тогда как правая

часть

равна нулю,

ввиду

того

что f(xk) = 0 при

k —

= 1,2........п. Значит,

равенство

(10.2.3)

не может быть

точным для / = со2(х).

точности 2п — 1

Отсюда следует, что если

степень

дос­

многочлен в форме разложения

по степеням х:

со (х) = хп + а ^ - 1 + ... + ап.

Условие (10.2.5) равносильно

выполнению

следующих

п равенств:

ь

\ p { x ) i й ( х ) х Ы х =

0,

/' =

0

, 1 ............п — 1.

а

Если

сюда

подставить

вместо

со (х) его

разложение по

степеням

х

и

для

сокращения

записи

обозначить

ь

§ р (х) xk dx — ak,

то

получится

система

уравнений для

а

нахождения коэффициентов аъ .... ап-

ап+ ап- Л + <хп^а2+ . . . + сс0ап= 0,

®я+1 +

а л +

“ «-х«2 +

• • • + aian=

0,

Я 2 я -1 +

K 2«-2<2l Н" а 2 л -З а 2 +

• • • “Ь а п -1 а п —

0 .