Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf

Скачать файл (7,26Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 115

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 3.1]	ПРИМЕНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ	33
Если такой многочлен существует, то изображения
функций $(t)qn{e~l) и $(t)f(t) совпадают в точках		p —k
(k = 0,	1.........п) и qn (е~() можно считать некоторым при

ближением к f(t).

З а м е ч а н и е . Если с*, е2, ..., еп —система векторов евклидова пространства, то определителем Грама для этой системы называется определитель

(«1 <0

(е1 е2)

.. •

(«1

еп)

(й2 ег) (е2 е2) . •

(й2 еп)

(ел ^l)

(еп йг)

•••

(еп еп)

где (ekej) — скалярное

произведение

векторов ek и в].

Для системы

функций

fi (x)

(i = 1, ь2........ л),

для

которой

ска-

лярное произведение

определяется

как

^ со (х) fk (х) fj (х) dx,

опреде-

лителем Грама называется

определитель

^ ш fj

^ СО к

■

$ Ю /2

со f'i

•

5®

S ® fn

i n k

. .

■■

где со и (г —функции

от х.

равен

нулю или больше нуля. Он

Определитель

Грама всегда

равен нулю

тогда

и только тогда,

когда векторы.еъ

е2, ... ,

еп или

функции fi,

f2,

..., fn линейно зависимы.

А теперь покажем, что условия (3.1.5) однозначно определяют многочлен qn(x). В самом деле, равенства (3.1.5) представляют собой систему п + 1 линейных алгебраиче ских уравнений с п + 1 неизвестными с0, ........^ — коэф фициентами многочлена qn(x)- Определитель этой системы является определителем Грама функций 1, х, х2, .... хп, и в силу того, что они линейно независимы, определитель отличен от нуля. А отсюда следует, что система (3.1.5) имеет решение и притом единственное. Значит, много член qn{x) существует и условия (3.1.5) определяют его единственным образом.

2 В . И , К р ы л о в , Н . С , С к о б л я

МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ

[ГЛ. 3

Отметим еще одно свойство многочлена цп (х). А именно, в классе многочленов степени не выше п многочлен qn(x), определяемый условиями (3.1.5), доставляет абсолютный минимум следующему функционалу:

J (Со, Ci,

В самом деле, запишем систему, полученную из условий минимальности функционала (3.1.6):

	(О(х) Ф (х) ■	хк dx —О,
или	1
1	1	(6 = 0, 1........п).
J со (х) хи<7„ (х) dx = \ со (х) хкср (х) dx		(6 = 0, 1........п).
о	о
Последняя система	совпадает с системой (3.1.5), следова

тельно, на многочлене q„(x) функционал (3.1.6) имеет стационарное значение. Покажем, что qn (х) доставляет

абсолютный минимум функционалу (3.1.6)			в классе мно
гочленов степени не выше п.		многочлен		степени не
Пусть	Рп(х) — произвольный
выше п,	причем Pn ( x )^ q n(x).	Представим		Рп(х)	в виде
тогда	Рп (х) = qn (х) + е„ (лг),

[ со (х) [ср (х) - Рп(х)]2 dx = $ со (х) [ср (х) - qn(х)]2 dx -
0	о	1
1			(х) dx.		(3.1.7)
— 2 5 со (х) [ср (х) - qn (х)] е„ (х) dx + $ со (х)
О		о
Второе слагаемое правой части (3.1.7) равно				нулю в силу
условия	(3.1.5). Так как Р„(х)	не совпадает тождественно

с qn(x) и ея (х) не является, следовательно, тождественным

нулем, последний	член в (3.1.7) будет положительным и
будет верно неравенство
1	1
5 со (х) [ср (х) -	Рп(х)]2 d x > \ со (х) [ср (х) - qn(х)]2 dx,
о	о

что и доказывает наше утверждение.

§ 3.1]

ПРИМЕНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ

Обратим внимание на связь установленных результа тов с рядами по ортогональным многочленам. Обозначим рп{х) (« = 0 ,1 .2 ,...) систему многочленов, ортонормальных на [0, 1] по весу со (лг), и рассмотрим соответствую щий им обобщенный ряд Фурье для ср (х):

	со			I
Ф М ~	2	chpk (х),	ck = $ со (х) ф (х) pk (х) dx.
	k —0			о
Возьмем конечную сумму п членов ряда
			П
		S n (X ) =	£	CkPk ( х ) .
		£ =		1
Это есть многочлен степени			не выше п, и его можно рас
сматривать	как	некоторое приближение к функции ф.

Можно легко указать экстремальное свойство такого приближения. Возьмем произвольные многочлены Рп (х) степени п и среди таких многочленов найдем тот, кото рый наименее уклоняется от ф в смысле среднего квадра тичного. Мы уже знаем, что таким многочленом является qn (х); теперь покажем, что qn (х) совпадает с Sn (х). Мно

гочлен	Рп	можно	разложить		по	многочленам pk (k —
= 0,1, ....		п):
		Рп(х)= 2		Akpk{x).
			k=0
Вычислим среднее квадратичное отклонение Рп от ф:
К = \ w (х) [ф (л:) -			Рп (х)]2 dx =
			Ф (х) -	X	Akpk (х)		dx =
1		1	пI	k =о		1
= ( соф2 dx — 2 ^ соф			V AkPk (x)dx + \ а>				2 ] Akpk{x)	dx =
о		о k = o			о	и = о
		= ( соф2й?х-2 2		Akck+ 2]			А\-
		0	k= 0			k=0
			1			п
			= 5 соф2 d x -			2 cl + 2 (Am-		Ck)\
					k =0		A = 0


36	МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ				[ГЛ. 3
От выбора	многочлена		Рп{х) в полученном равенстве
зависит только последняя			сумма, слагаемые которой все
неотрицательные;		поэтому	достигнет	минимума	в том
и только в том		случае,	когда Ak = ck	(k = 0, 1, ..., п).

Последнее означает, что многочлен Рп, доставляющий наи меньшее значение 6Д, т. е. qn (х), должен совпадать с S„ (х):

	qn( x ) ^ S n(x).		(3.1.8)
Из (3.1.8), в частности, следует, что
		СО
lim qn (х) = lim Sn(x)= 2			ckpk (x)
п—►00	я —»• со	k =	0
и сходимость qn(х)	ср (х) (п -> со)	равносильна возмож

ности разложения функции ср {х) в ряд по ортогональным многочленам рп (х):

СО

ф до = 2 °ирк (х).

к-О

Условия возможности такого разложения во многих слу чаях известны, и, пользуясь ими, можно получить усло вия, при которых оригинал f(t) может быть найден как предел последовательности приближений Р (/) qn (е~‘) (п — = 1, 2, ...). Теперь рассмотрим некоторые частные слу чаи весовой функции со(х).

3.1.2.Обращение преобразования Лапласа с помощью

многочленов Якоби. Пусть	весовая	функция имеет вид
ю (х) = х“ (1 — х)р,	а > — 1,	Р > — 1.	(3.1.9)

Построим многочлен q„(x). Но прежде рассмотрим так называемые смещенные многочлены Якоби />*(«. Р>(*). Они

отличаются от многочленов Якоби Р&< Р>(х) тем, что интер

вал	их определения		сведен	к отрезку	[О, 1] вместо	обыч
ного	[— 1, 1], т. е.
		Р Т ’ ®(х) = Рп’ Р) (2 х - 1).
Такие		многочлены	зависят	от двух параметров, которые
мы обозначили а, Р, и при				любых значениях этих		пара
метров могут быть определены равенством
Р*п		Р) (X) =	X- “ (1 -	ХГ	(ха +" (1 - x f +n),

( 3. 1. 10)

§ 3.1)

ПРИМЕНЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ

которое часто называют формулой Родрига для Р'п (а' Р). Многочлены Р*(а>р) (х) образуют ортогональную систему на [0, 1] по весу х“ (1 — х)$, и для них верны равенства

$лг“ (1 -xfP * nla' ®(х)Р*т(а’ р) (х) й?л: = 0, п ф т ,	(3.1.11)
О
rn = \x a ( l - x f [ P V a' Р) (x)]*dx =
0
Г (я-\|-а-)-1)Г(А-}-(34-1)	/о i io\
«!(2п + а + р+ 1)Г(п + а + р+1)’

Ортонормированными многочленами, которые в и. 3.1.1 обозначены рк (х:), здесь будут

р Г “’ Р) (x) = j±= -Pt(a-V(x).

Коэффициенты ск разложения		ср (х) по многочленам рк (х)
имеют значения
1
с* = $ ю (х) ср (х) рк {х) с!х—
О	1
	1
=	-±= \| (О(х) ф (х) Pi		Р) (X) dx = y ^ .
Поэтому многочлен	qn (х), совпадающий с частичной сум
мой Sn (х) обобщенного ряда		Фурье, имеет	вид
	П
qn(.х) =	Sn (х) = ^	yk Pt (“' P> (*).		(3.1.13)
	k= o

Можно построить простое выражение ак через коэффициенты многочленов Р*к(“' Р) и величины F (г). Пусть

р%1а'®(х)= 2 « }*У

( 3. 1. 14)

1 = 0

Смотрите также файлы

Левин, А. М. Очистка сточных вод огнеупорных заводов.pdf

Литвинов, И. В. Структура атмосферных осадков.pdf

Мамаев, Н. Ф. Нижний палеозой и докембрий восточного склона Урала.pdf

Мамедов, Э. С. Тайфуны.pdf

Махнач, А. С. Геохимия микроэлементов группы железа в живетских и франских отложениях Белоруссии.pdf

Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно