Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

Кстати, эта формула

сразу

получается

из второй

формулы (6.21).

Если m — натуральное

число, то

.

т.

У 14- X — 1

im - — - X

х->0

im,

\ Im,

m,

, m,

^

: lim \V

(\

\x~\)\V{\

| X)"1-1

+ 1/(14- х)т-2+ .

+

X 4-1

д;-»0

m,

т,-

m,

\

X \Y

(l+x)m-l

+ V (l + x ) m - 2 + . . . + V

1+x+l)

=

lim

1

V

(\ + x)m-i

+ y/'(l+x)m-2+.

. . 4 - / 1

4-A: 4-1

или

•

y 1 4-х— 1

,

im -——

= 1.

x^O

X

Отсюда

следует, что

m

'

m '

И Л И

УТ+~х^1

+ -^.

(6.25)

/ (а -

0) = / (а) =

f (а + 0).

(6.27)

Предположим теперь,

что точка

х = а принадлежит

области

ция f (х) т е р п и т

в т о ч к е а

р а з р ы в ,

или, что точка а

является т о ч к о й

р а з р ы в а

функции.

Как мы видели, все

1 - х 2

Для х<0;

(6.28)

f{x) = — 1

х = 0;

X

х > 0 ,

график которой представлен на рис. 83.

Непосредственно

видно,

что для

этой функции

/ ( О — 0) = 1,

/ (0) =

— 1, / (0 +

0) =

0,

равенство

(6.27) в

точке

х =

0 нару­

шается, а потому точка х = 0 яв­

У

ляется

точкой

разрыва

функции.

К

числу

точек

разрыва

относят

7

также

всякую

точку,

которая

не

принадлежит

области

определения

функции, но является

г р а н и ч н о й

/

точкой

этой

области

(§ 4.3).

В

част­

X

ности, если область определения функ­

0

ции

составлена

из

промежутков,

то

точками разрыва этой

функции

бу­

дут

те

концы

этих

промежутков,

которые не принадлежат -области

-/

определения

функции.

Такие

точки

разрыва элементарные

функции

уже

Рис. 83

могут

иметь.

Для

примера рассмотрим функцию

/ (х)

-. Эта функция

Лг

определена для всех х, за исключением

точки х =

0. Точка х — 0

не принадлежит области определения функции,

но является общей

граничной точкой промежутков

(— с о , 0) и (0, +

с о ) , из

которых

эта_область составлена. Поэтому точка х = 0 будет точкой

разрыва

i

г /

\

Sill X

функции / (х) =

—^— .

Рассмотрим еще один пример: / (х) =

—^=г. Областью определе-

V X

ния этой функции будет промежуток

(0, + с о ) . Точка

х — 0 как

граничная точка этого промежутка, не принадлежащая

ему, будет

равенство (6.27) нарушается,

а пределы f (а — 0) и / (а +

0) ко­

нечны, то x = а называется

точкой разрыва п е р в о г о

р о д а .

1) к о н е ч н ы й

р а з р ы в. В этом случае /

(а — 0) Ф /(a-f-0).

С

этим типом разрыва мы столкнулись на примере функции (6.28).

Для

этой функции

/ (0 — 0) Ф f (0 +

0),

причем

оба эти

предела

конечны, следовательно, эта функция в точке х =

0 терпит конеч­

ный

разрыв;

2)—у с т р а н и м ы й р а з р ы в .

В

этом

случае

пределы

/

(а

— 0) и f

(а +

0) равны

друг другу,

но не

равны

значению

/

(а)

функции

/ (х) в точке а

(или точка а

не принадлежит области

Как

мы

видели,

функция

/ (х)

=

£Ш£. терпит в

точке

х =

0

разрыв. Имеем

lim sin X

откуда следует, что левый

и правый

X - о

пределы

функции

в

точке

х — 0

У

равны

друг

другу

и

равны

1.

Следовательно, функция f(x)

=s"^*

1

терпит в точке х = 0 устранимый

разрыв

(рис. 84).

Разрыв

называется

устрани­

0

мым, так как, изменив соответст­

вующим

образом

значение

функ­

Рис. .84

ции в точке

разрыва

(или

доопре­

делив функцию в этой точке,

если

функция не была в ней определена),

можно добиться непрерывности функции, т. е. «устранить»

разрыв.

Очевидно, для этого достаточно принять

f (а)

= f

(а — 0)

или

f(a)

= I (а + 0)1.

Так, стоит в последнем примере принять / (0)

1,

как

функция

f(x)=-

станет в точке х =

0 непрерывной.

Если x =

а является точкой

разрыва

второго

рода, то по

край­

ней мере один из пределов / (а — 0) и / (а ~\- 0) бесконечен или

не

существует. Из этих разрывов отметим

б е с к о н е ч н ы й

раз­

рыв,

в случае

которого хотя

бы один

из

односторонних

пределов

f (а — 0)

и f

(а

+

0)

бесконечен.

Как

мы

видели,

функция

/ (х)

=

1

терпит

разрыв

в

точке

Ух

x = 0. Разрыв

этот бесконечен,

так как

/(0 + 0 ) - l i m - J = -

=

+

co;

х^О

у X

х>0

говорить

о пределе

/ (0 — 0)

здесь

не

имеет смысла,

так

как при

x <; 0 функция

не

определена.

функцию f

(х)

=

В

качестве

еще

одного примера рассмотрим

і_

= 2* — 1 .

Ее

область определения

состоит

из двух

промежутков:

( — с о , 1) и (1, +

с о ) ; общая граничная точка х — 1 этих

промежут-

і_

im 2~у=

lim

- 0 ;

/(1—0)

1іш2Л

-;

X •> 1

у

>- 4

оо

2У

х<1

/ (1 + 0)

lim 2х '"1

=

lim 2У

-•= +

оо

Х-г[

І-ОС

У

1

^

^ ^

^

^

1

0

Г

л

!

(при

вычислении

первого

предела

сделана

замена

- = —г/,

а

при вычислении

второго — замена —?— == у

X — 1

Следовательно,

функция

X — 1

f (х) = •^ r - j

терпит

в точке х =

0

бесконечный

разрыв

(рис.

85).

6.11. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ НА ПРОМЕЖУТКЕ

Определение.

Функция

/ (х) называется

непрерывной

на

некото­

ром

промежутке

(конечном

или

бесконечном),

если

она

непре

рывна

в каждой

точке

этого

проме­

жутка.

Если

функция

/ (х) непрерывна

на

замкнутом

интервале

[а,

Ь],

то в

гра­

ничных точках этого интервала предпо­

лагается

так называемая

о д н о с т о ­

р о н н я я

н е п р е р ы в н о с т ь —

правосторонняя в точке а и левосто­

ронняя

в

точке

Ь.

Это

значит,

что

Рис.

86

в

точке

а существует

конечный

предел

/ (а +

0),

равный

f (а),

а

в

точке

b— конечный предел

/

(Ь — 0),

равный

/

(Ь)

(рис.

86).

Графиком функции / (х), непрерывной на некотором промежутке,