Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

Подчеркнем разницу между матрицей второго порядка и ее оп­

чие между матрицей и ее определителем подчеркивается и в обо­ значениях.

Обратимся теперь к исследованию и решению системы двух ли­ нейных уравнений с двумя неизвестными при помощи определите­

является матрицей второго порядка. Определитель матрицы си­ стемы

полученные равенства; затем проделаем тоже самое, взяв в каче­

правых частей уравнений системы (1.11), то легко видеть, что они

Правая часть первого уравнения системы (1.11), содержащего неизвестное xt является определителем матрицы, получающейся из матрицы (1.10) системы (1.9) заменой первого столбца, состоя-

7

щего из коэффициентов при неизвестном хх на столбец из свобод­ ных членов, а правая часть второго уравнения этой системы, со­ держащего неизвестное х2 является определителем матрицы, по­ лучающейся также из матрицы (1.10) заменой второго столбца, состоящего из коэффициентов при неизвестном х2 на столбец из свободных членов.

Если обозначить

Система уравнений (1.9) и полученная из нее (1.15), вообще говоря

Известно, что тождество остается тождеством при умножении обеих его частей на одно и то же число и что почленное сложение тождеств дает также тождество. Поэтому, если с тождествами (1.16) произвести те же преобразования, которые были выполнены с си­ стемой уравнений (1.9) для вывода системы (1.15), то получим тож­ дества

D-c1 = D1, D-c2 = D2.

Эти равенства и показывают, что числа сг и с2 являются реше­ нием системы (1.15). Таким образом, все решения системы (1.9) находятся среди решений системы (1.15). В частности, если система (1.15) имеет только одно решение, то оно может быть лишь единст­ венным решением системы (1.9), и если система (1.15) не имеет ре­ шений, то система (1.9) и подавно не имеет решений.

Приступим теперь к исследованию системы уравнений (1.9) Возможны два случая: либо определитель D системы отличен от нуля, либо он равен нулю. Рассмотрим каждый из них в отдель­ ности:

1. D Ф 0. В этом случае система уравнений (1.15) имеет единст­ венное решение

8

и, следовательно, по лемме, система уравнений (1.9) либо имеет только одно решение, именно (1.17), либо не имеет решений.

Покажем, что значения неизвестных по формулам (1.17) яв­ ляются решением системы (1.9). Подставляя эти значения в первое уравнение системы (1.9), получим

Аналогично убеждаемся в том, что и второе уравнение системы (1.9) удовлетворяется этими же значениями неизвестных. Таким образом, при D ф 0 система (1.9) совместна и имеет единственное решение. (Система определенна.) Это решение при помощи опреде­ лителей может быть записано в виде

Полученный результат является частным случаем теоремы, или правила Крамера применительно к системе двух линейных урав­

В этом случае система (1.15) несовместна, так как одно из ее урав­ нений (именно то, у которого правая часть не равна нулю) не может быть удовлетворено никаким значением неизвестного. Следова­ тельно, по лемме и система (1.9) не совместна.

2) Оба определителя Dx и D 2 равны нулю. Покажем, что в этом случае система (1.9) эквивалентна одному из ее уравнений, напри­

9

т. е. одному уравнению с двумя неизвестными. То, что любое ре­ шение системы (1.9) является решением уравнения (1.19), очевидно (уравнение (1.19) является одним из уравнений системы (1.9)). По­ кажем обратное: любое решение уравнения (1.19) является реше­ нием системы (1.9). Для этого достаточно убедиться в том, что лю­ бое решение этого уравнения является решением второго уравне­ ния системы (1.9). Найдем все решения уравнения (1.19). Допустим, что а1Х Ф 0 (оба коэффициента при неизвестных не могут быть равны нулю, так как в этом случае нет уравнения). Тогда, рассмат­

Таким образом, два числа: произвольно взятое значение неиз­ вестного х 2 и вычисленное по формуле (1.20) соответствующее зна­ чение неизвестного хх, составляют решение уравнения (1.19). Раз­ личным значениям неизвестного х2 соответствуют различные реше­ ния уравнения (1.19).

Так как х2 можно придавать бесконечно много различных зна­ чений, то уравнение (1.19) имеет бесконечно много решений. Ре­ шениям уравнения (1.19) можно придать более удобный вид, если

Х2 — Q-Xxt,

где величина t называется параметром. Каждому значению t со­ ответствует определенное решение уравнения (1.19), причем фор­ мулы (1.21) содержат все решения этого уравнения.

по условию, определители (1.14) равны нулю, будем иметь при лю­ бом значении параметра t

10