Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

Пусть

при X -> а функции а (х)

и

ß (х) являются

бесконечно

малыми величинами (здесь а может

быть и числом и одним

из сим­

волов: с о , +

оо, — оо) . Вычисление

предела

lim

(6.19)

*-eß(*)

называется

с р а в н е н и е м

этих

двух бесконечно малых. Здесь

обычно пользуются следующими

определениями:

1)

если предел (6.19)

равен нулю, то говорят, что а е с т ь

б е с ­

к о н е ч н о

м а л а я

б о л е е

в ы с о к о г о

п о р я д к а ,

ч е м

ß (или ß есть бесконечно малая

низшего порядка

по отноше­

нию к а);

2)

если предел (6.19)

равен одному из символов: оо,

+

с о , — о о ,

то говорят, что а е с т ь

б е с к о н е ч н о

м а л а я

н и з ш е г о

п о р я д к а

п о о т н о ш е н и ю

к

ß (или ß есть бесконечно ма­

лая более

высокого порядка,

чем ос);

3) если предел (6.19) равен некоторому числу А ф 0,

то гово­

рят,

что а

и р — б е с к о н е ч н о

м а л ы е

о д н о г о

п о ­

р я д к а .

Пример

1.

При X -> 0 функции а =

х2

и ß =

sin х являются

бесконечно

малыми.

Имеем

lim —

= lim — - — = lim —-— lim x — 1 0 = 0,

x-*o ß

x-o

sinx

x-,o sin X x->0

откуда

следует,

что а — х2

является

бесконечно

малой

более

высокого по­

рядка,

чем

ß — sin

x.

Пример

2.

При

x -> 0

функции а =

Ух

+ 1

— 1

и ß — х

являются

бесконечно

малыми.

Имеем

..

а

..

Ѵх+1

— 1

1

1

hm — =

hm

=

hm

= — - .

X - . 0

ß

x->o

x

д ^ о у x

_|_ J _|_ j

2

откуда

следует,

что а = Ух

+ 1

— 1 и ß =

х — бесконечно

малые

одного

порядка.

Сравнение

бесконечно

малых

уточняется следующим

образом:

функция а

называется

б е с к о н е ч н о

м а л о й

k-ro

п о р я д к а

относительно

бесконечно малой ß, если lim 1іт-^- = Л,

где А —

любое

число,

отличное от нуля.

1

Пример

3.

Функция а =

хі и ß =

х бесконечно малы при х - > 0.

Имеем

et

х^

1,

что а

=

х* есть бесконечно

lim —

=

lim —— =

откуда

следует,

малая 4-го

х^о ß 4

х^о

х

ß =

х.

порядка

относительно

бесконечно

малой

Пример 4. Функция а =

1 — cos х и ß =

х бесконечно малы при х

0.

Имеем

..

а

,.

1 — cos X

,.

sin^ X

hm — ^= hm

X2

— ~ hm

(1 +

cosx)

• о ß 2

x^ü

X->qx2

,.

sin X

,.

sin X ,.

1

,

,

1

1

= hm

hm

hm

= 1 • 1 • — — — ,

x-*o

x

x-o

x

x - . ol +

cos*

2

2

откуда

следует, что а =

1 — cos х

есть

бесконечно

малая

2-го

порядка

от­

носительно бесконечно малой ß =

х.

Теорема. Произведение

двух

бесконечно

малых

есть

бесконечно

малая

более высокого

порядка,

чем каждый из

сомножителей.

Действительно, если при х

а функции а (х) и ß (х) бесконечно

малы, то

l i m ^ - = limß = 0;

x

> а

а

x -f а

Определение. Функции

а (х) и

ß (х), бесконечно

малые

при

x ~> а, называются

эквивалентными

бесконечно

малыми,

если

hm —

= b

x -*а ß (x)

Так,

например, в силу формулы (6.П) функции sin а и а при

функции In (1 + х) и x при x -> 0 тоже являются

эквивалентными

бесконечно

малыми.

Теорема

1. Если функции

а, а 1 (

ß, ß x бесконечно

малы при х а,

причем аг

эквивалентна а,

ß t эквивалентна ß, то

hm — — lim — .

х-у a ßi

х-у a ß

x-ya ßx

* - Л а

ßx ß /

^ а ^ - а Р к . а Р

а ß

1)

\ ш ^ - =

\\т^-

= 2

(здесь а = 2х);

2)

lim (х sin — У - l i m (я — ) - 3

х I

х-хх>\

х

Теорема 2. Для того

чтобы

функции

а (х)

и ß (х)

бь/л«

п/ш

x -> а

эквивалентными

бесконечно

малыми,

необходимо и

достаточно,

чтобы

разность

а—ß

ббгла бесконечно

малой более высокого порядка,

чем а

илм ß.

Д о к а з а т е л ь с т в о

н е о б х о д и м о с т и .

Пусть а и ß

при x

а являются

эквивалентными бесконечно малыми.

Тогда

Hm EL=LË.= lim/'i

х-.а

а

х - г а \

а

)

l i m ^ = l i m ( - ? - - l ) = 0 ,

х-> a

ß

х^

а \

ß

/

откуда

следует,

что а — ß является

бесконечно

малой

более

высо­

кого порядка, чем а и р .

Д о к а з а т е л ь с т в о

д о с т а т о ч н о с т и .

Пусть

раз­

чем,

например,

а;

тогда l i m - — — = 0 или

lim/1

—) = 1 —

х^а

а

х->а\

а I

— l i m — - = 0 , откуда

lim — =

1, т. е. а

и

ß — эквивалентные

х-уа

а

х-*а а

^

бесконечно малые.

С

понятием

эквивалентности

бесконечно

малых, и в частности

женном выражении одной функции посредством

другой.

Пусть

функции а (х) и ß (х) являются

при х -> а эквивалентными

беско­

нечно малыми. Положим приближенно

a ( x ) ^ ß ( x ) .

•

(6.20)

Имеем lim (a—ß) =

lim а — lim ß — 0, откуда

следует, что

x УО.

x < д

x -у а

щему выводу:

если

функции

а (х) и ß (х) при х

а являются эк­

вивалентными

бесконечно малыми,

то для

значений х,

достаточно

близких

к а, любую

из этих

функций

можно

приближенно

заменить

другой

со сколь

угодно большой относительной

точностью.

sinx^ax; In (l+x) œx,

(6-21)

относительной погрешности),

чем меньше

по модулю

х.

Вычислим еще несколько

пределов

lim •tg X

l i m /sin X

1,

X

х ->о

COS X

откуда

следует

приближенная

формула

IgXïuX.

(6.22)

І Л

1 - 1

— COS X

1

1 - 1

— COS X

Как

мы видели, lim

= — или lim

^

х->0

X2

2

X -о

х

откуда

следует

приближенная

формула 1 — c o s x ^ —

или

I

,

X2

(6.23)

cos X

1

.

Положив ех— 1

находим

um

um •

=

lim

= 1,

х-* 0

Z -*• оо

•Z-rOO

1

z

откуда

следует,

что

или

(6.24)

е х ~ 1 + х .