Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 64

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Таким образом, в рассматриваемом случае система уравнений (1.9) совместна, но неопределенна; она имеет бесконечно много ре­ шений. Решения системы при аХ1 =f= 0 определяются формулой (1.20) при произвольных значениях х 2 или формулами (1.21) при произвольных значениях параметра t.

З а м е ч а н и е 1. В приведенных рассуждениях одновре­ менно показан способ решения одного линейного уравнения с двумя неизвестными.

 

З а м е ч а н и е

2.

Из изложенного

следует,

что системы (1.9)

и (1.15) эквивалентны только в том случае,

когда определитель

системы (1.9) отличен от нуля.

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1.

Исследовать

систему

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3*! +

Х2

=

1,

)

 

 

 

 

 

 

 

 

хг

+

2 х 2

=

12

j

 

 

 

и в случае ее совместности

найти

все решения

системы.

 

 

Вычисляем

определители

D, Dx

и D2

 

 

 

 

 

 

D =

 

 

 

 

1

1

-

14;

D2

=

= 35.

 

 

 

Di

 

12

—2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

Так как определитель системы D отличен

от нуля,

то система

совместна

и

определенна

(имеет единственное

решение).

Решение

системы находим по

правилу Крамера

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_ - 1 4

_ о .

 

_

3 5

_

s

 

 

 

 

 

 

- 7

 

 

2

 

- 7

 

 

 

 

 

Пример 2.

Исследовать

систему

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2хі — 3*2 =

— 1, Ч

 

 

 

 

 

 

 

— 6*! +

9 х 2 =

3

J

 

 

 

и

в случае совместности

найти все ее

решения.

 

 

 

 

Вычисляем

определители

D,

Dïy

D ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— 3

 

 

2

0.

 

D =

0; D j

 

 

 

 

= 0; D 2

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

— 6

 

Все определители равны нулю. Следовательно, система совместна, но неопределенна (имеет бесконечно много решений). В этом случае система эквивалентна одному уравнению, например, первому

— З х 2 — — 1 •

Задавая, например, неизвестному х2 произвольное значение, из указан ­ ного уравнения находим соответствующие значения для неизвестного хх:

Зх2 — 1

 

 

Z

 

•

 

Например,

при хг = 0, х1

при

хг

Хі= — 2; при х% = •—

І ! = 0 H 7.

Д.

 

 

 

 

Пример

3. Исследовать

систему

 

 

 

 

 

+ 5Х2

= 3 ,

I

 

 

2хг + 10*2

=

— 1.

J

11

Вычисляем определители D , Dlt

D2

 

 

1

5

3

5

1

3

D =

=

0; Dx =

=

35; D9

= —7.

2

10

— 1

10

2

— 1

Так как определитель системы D

0, а определители

D j и D 2 отличны

от нуля, то

система

несовместна.

 

 

 

 

1.3.

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка

 

 

а1х

«12

«13

 

 

 

А =

«22

«23

(1.22)

 

 

а3і

а32

«зз

 

Если в этой матрице вычеркнуть любую строку и любой столбец, то оставшиеся элементы образуют квадратную матрицу второго порядка. Очевидно, что из квадратной матрицы третьего порядка указанным способом могут быть получены девять квадратных мат­

риц второго

порядка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение

\. Минором

 

элемента

аік

матрицы

третьего

по­

рока

называется

определитель

матрицы

второго порядка,

полу­

чающейся

из данной

матрицы

вычеркиванием

і-й

строки

и

k-го,

столбца,

т.

е. строки

и столбца,

на

пересечении

которых

нахо­

дится

этот

элемент.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Минор

элемента

aik

обозначается

символом

Dik.

Например,

минором

элемента

а12

матрицы

(1.22)

является

определитель

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

« 2 і

«23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«31

«33

 

 

 

 

 

 

а минором

элемента

а23

— определитель

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

23

I

«11

а12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

a31

a32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение

2.

Алгебраическим

дополнением

элемента

aik

мат­

рицы

третьего

порядка

называется

число,

равное произведению

ми­

нора

этого

элемента

на (—

\ ) l + k .

 

 

 

 

 

 

 

Алгебраическое

дополнение элемента обозначается

так же, как

и сам элемент,

но с заменой

строчной

буквы на заглавную. Таким

образом,

по определению,

алгебраическое

дополнение элемента aik

 

 

 

 

 

 

 

Aik

=

 

(~\)i+kDik.

 

 

 

 

(1.23)

Пример 1. Вычислить

алгебраические

дополнения

элементов

матрицы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3 — 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А —

 

0

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• 3 — 1

0

 

 

 

 

 

 

12

Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A i = ( - 1 ) 2

 

2 1

 

Л 1 2 = ( - 1 ) 3

 

О

1

— 3:

-

1 О

 

— 3

О

 

 

 

 

 

 

л м = ( - і ) 4

О

2

6;

Л 2 1

= ( - 1 ) 3

 

3 — I i

= 1;

— 3 — 1

 

 

 

 

— 1

о

 

Л И = ( - 1 ) *

 

— 1

= — 3 ;

Л 2

з = ( - 1 ) 5

 

1

3

 

 

 

О

 

 

 

 

 

— 3

— 1

 

А31 = (-!)<

 

 

= 5;

Ап

=

(-1)

1

— 1

 

 

 

О

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ( - 1 ) е

1

3

= 2.

 

 

 

 

 

 

 

О

2

 

 

 

 

З а м е ч а н и е .

Можно говорить также о минорах и соответст­

венно алгебраических дополнениях элементов матрицы второго порядка, если под определителем матрицы, состоящей из одного элемента (матрицы первого порядка), понимать число, равное этому

элементу.

 

 

Определение 3. Определителем

матрицы третьего порядка

"11

"12

"13

А ~ ^21

^22

^23

а 3 1

а 3 2

а 3 3

(определителем третьего порядка) называется число, равное сумме произведений элементов первой строки матрицы на их алгебраи­ ческие дополнения и обозначаемое символом

 

 

 

 

а11

а12

а13

 

 

 

 

 

 

&21

^22

^23

 

 

 

 

 

 

а31

а32

а33

 

 

Таким образом,

по определению,

 

 

а,,

а"1

9

а

 

 

 

 

 

11

 

2

"13

а і И і і

+al2A12

+alsAls

(1.24)

^21

 

 

^23

^31

*32 &"33

 

 

 

 

 

Если в формулу (1.24) подставить выражения алгебраических дополнений через элементы матрицы, то получим

Ч і

"12

*13

 

 

 

Z 23 - # ц о 2 2 а з з ! a 2 i û 3 2 a i 3 I ^ з і ^ і г ^ г з

° з і а 2 2 а і з

*31

4 32

"33

 

 

 

û lla 32a 23 а21%2а33-

(1.25)

В курсах высшей алгебры формула (1.25) принимается в ка­ честве определения определителя третьего порядка. В этой формуле шесть слагаемых, причем каждое из них является произведением

13

трех элементов матрицы: по одному из каждой строки и из каждого столбца; три слагаемых входят со знаком «+» и три со знаком «—».

Для облегчения запоминания формулы (1.25) рекомендуется пользоваться следующим правилом: одно слагаемое, входящее со знаком «+», представляет собой произведение элементов главной диагонали, другие два слагаемых — произведения элементов, рас­ положенных в вершинах треугольников с основаниями, параллель­ ными этой диагонали. Аналогично для слагаемых, входящих со знаком «—»: одно из них представляет собой произведение элемен­ тов побочной диагонали, а другие два — произведения элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, парал­ лельными этой диагонали.

Схематически это правило, называемое правилом треугольни­ ков, может быть изображено следующим образом:

Пример 2. Вычислить определитель

1— 1 2

11 •2 3

Пользуясь

правилом треугольников,

будем иметь

 

1 — 1 2

 

 

 

 

 

 

- 3

1

1 =

і - і - 3 - 4 - ( — 1)( —

1 > І - Ь 2 <

— 3)( — 2) — ( —

1)1 - 2 -

— 1

—2

3

 

 

 

 

 

-

1 ( - 2 ) .

3-( — 3) - ( — 1) =

3 +

1 +

12 + 2 + 2 — 9 =

11.

1.4.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Определители высших порядков, т. е. четвертого, пятого и т. д., будем определять с помощью определителей меньшего порядка,, точно так, как был определен определитель третьего порядка с по-

14

мощью определителей второго порядка. Так, рассматривая мат­ рицу 4-го порядка

 

 

а21

«12

Û18

Ö14

 

 

 

 

 

 

«2 2

 

ß 2 4

 

 

 

(1.26)

 

 

а3і а32

а з з а 3 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а 4 1

а 4 2

«4 3

а 44

 

 

 

 

вводим понятия минора и алгебраического

дополнения

произволь­

ного элемента aik

этой матрицы,

как, соответственно, определителя

Dik

матрицы 3-го порядка, получающейся

вычеркиванием

строки

и столбца, на пересечении которых находится этот элемент,

и числа

Aik,

равного произведению минора

Dik

на

(— \ ) 1 + к .

Тогда

опре­

делителем D (А)

матрицы (1.26) 4-го порядка, (определителем

4-го

порядка) будем называть число, равное сумме произведений эле­

ментов первой

строки матрицы на их алгебраические дополнения,

т. е.

 

fln^n + а12А12

 

 

 

D (А) =

+ а13А13

+

а и А и .

Аналогично,

с

помощью определителей

4-го

порядка опреде­

ляется определитель 5-го порядка, с помощью определителей 5-го

порядка — определитель

6-го

порядка

и т. д.

 

В общем случае, предполагая известным определитель п—1 по­

рядка, вводим понятия минора Dik

и алгебраического

дополнения

Dik элемента аік матрицы

/г-го порядка

 

 

 

ах1

аХ2

"In

 

 

û o i

ö 2

2

а2п

(1.27)

 

"ni

ап

 

 

 

Определение

1.

Минором

элемента аік

матрицы

п~го

порядка

называется

определитель матрицы

п—1 порядка,

получающейся

из данной

матрицы

вычеркиванием

1-й строки

и k-го столбца,

т. е.

строки и столбца,

на пересечении

которых

находится

этот

элемент.

Определение 2.

Алгебраическим

дополнением элемента aik

мат­

рицы

п-го

порядка

называется

число, равное

произведению

 

минора

этого

элемента

на

(-

т.

е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aik

=

 

(-\)i+kDik.

 

 

 

 

(1.28)

Определение

3.

Определителем

матрицы

п-го

порядка

 

 

 

 

 

 

 

а и

ахг

Чп

 

 

 

 

 

 

 

 

А

Û21

^22

12п

 

 

 

 

15

Смотрите также файлы