Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 69

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

основании теоремы 1 предыдущего параграфа можно утверждать, что целая рациональная функция

. у-=а(]хп-\-а1хп-1 + а2хп-'2+ . . . +ап^{х + ап

тоже

непрерывна для

всех значений х. Дробная рациональная

функция

 

 

 

 

а0хп

+ а , * " - ' + . . . + ап__хх + а„

 

У

+ &,*'* +

. . . +ьт_хх

+ Ь„

 

 

как

отношение двух непрерывных

функций

непрерывна во всех

тех точках х, в которых знаменатель не обращается в нуль. Таким образом, всякая алгебраическая рациональная функция

непрерывна в любой точке, принадлежащей ее области определе­ ния.

Можно доказать, что не только алгебраическая рациональная функция непрерывна в любой точке ее области определения, но что этим свойством обладают вообще все явные алгебраические и все простейшие трансцендентные функции. Доказательство этого факта во всем его объеме выходит за пределы программы. Докажем

еще

только непрерывность тригонометрических функций.

Пусть

у =

sin X. Пусть X — некоторое значение аргумента; дадим

аргу­

менту приращение Ах, тогда функция у = sin х получит

прираще­

ние

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ay

=

sin (х +

Ах) — sin х.

 

 

 

Докажем, что функция sin х непрерывна при всех х. Для этого

надо

доказать (см. § 6.2), что при любом

х

 

 

 

 

 

lim Ау=

lim [ s i n ( х + Ах) — sinх] = 0.

 

(6.7)

 

 

Дх->0

Ьх-гО

 

 

 

 

 

 

Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim [sin (х + Ax)—sin X] = 2 lim

Г АЛ:

/

Дл:

(6.8)

 

sin — cos Ы

 

 

 

 

 

Лх-*0

 

Дл:

 

 

ÜX-+01

2

V

2

Если Ax -> 0, то и

> 0, и мы сейчас покажем, что при этом

 

 

ДЛ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и s m

— стремится к нулю. Из этого будет следовать формула (6.7),

ибо

второй

множитель

cos^x+^J —функция

ограниченная.

 

ДЛ:

= а, тогда

надо доказать соотношение

lim sin а = 0.

Обозначим —

 

2

 

 

 

 

 

 

а..,о

 

 

Рассмотрим тригонометрический круг радиуса / (рис. 82) и пред­

положим, что а означает

радианную

меру

некоторого угла АОМ.

При любом положении

точки M имеем

 

 

 

 

 

 

АМ = \а\ОА = \а\;

| ВМ | =

| sina |.

 

 

' 163

 

Так

как \ВМ\

AM

(знак равенства

для а

= 0),

то

0

I sin а I

. | а |.

 

 

 

 

 

 

Здесь

слева

стоит

0, а справа — величина

| а | -> 0 при а

0.

Отсюда

и

следует (см. § 5.1, теорема 4), что sin а -> 0

при а

0.

 

Аналогично

доказывается

непрерывность

функции

cos х

при

любом X. Из непрерывности sin х и cos х в силу

непрерывности ча-

 

 

sin JC

COS JC

стного (см. § 6.3) следует,

что функции tg х =

; ctgx =

;

 

 

cos X

sin X

1

 

!

 

 

sec X

; cosec x =

непрерывны для всех x, при которых

cos x

sin X

 

 

соответствующий .знаменатель не обращается в нуль, т. е., что все эти функции непрерывны в любой точке их области определения.

Итак, все явные алгебраические и простейшие трансцендентные функции непрерывны в каждой точке их области определения. Как следствие из этого факта и теорем предыдущего параграфа вытекает следующая теорема.

Теорема. Любая

элементарная

функция непрерывна в каждой

точке ее области

определения.

 

Действительно, любая элементарная функция (§4.14) получается из явных алгебраических и простейших трансцендентных функций в результате некоторой последовательности арифметических дейст­ вий и операций взятия функции от функции. Любая арифметиче­ ская операция над непрерывными функциями (см. § 6.3, теорема 1) также приводит к функции, непрерывной в каждой точке ее обла­ сти определения. Операция взятия непрерывной функции от непре­ рывной функции (см. § 6.3, теорема 2) опять приводит к непрерывной функции. Таким образом, на каждом этапе той последовательно­ сти операций, в результате которой получается рассматриваемая элементарная функция, свойство непрерывности сохраняется. От­ сюда и вытекает справедливость последней теоремы.

6.5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть функция / (х) непрерывна в точке х = а. Тогда

 

l

i m

(

а

) ,

(6.9)

но так как а = lim х, то

x

• а

 

 

формулу можно

переписать

последнюю

x <а

 

 

 

 

 

 

так:

 

 

 

 

 

 

l

i

m

=

/ ( l i m * ) .

(6.10)

х-* а

 

 

х-'Ч

 

Последняя формула показывает, что при отыскании предела непрерывной функции можно совершить предельный переход под знаком этой функции; иными словами, символы предела и непре­ рывной функции можно переставить. Таким образом, если заранее известна непрерывность функции / (х) в точке а, то формулы (6.9) и (6.10) выражают общее и важное правило предельного перехода.

164

В предыдущем параграфе было указано, что все элементарные функции непрерывны в каждой точке их области определения. Следовательно, можно сформулировать, следующее правило пре­

дельного перехода для элементарных функций: если

а принадлежит

области

определения

элементарной

функции

f (х),

то для

отыска­

ния

предела

этой функции

при х ->

а надо вычислить

значение

функ­

ции

при

X =

а. Это

значение и будет

искомым пределом.

 

 

Примеры.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

lim ]fx

=

yr8

= 2;

 

 

 

 

2)

 

 

x~i

lim — L - = — L - =

1;

 

 

 

 

 

 

Vx

 

Vi

 

 

 

 

 

3)

 

 

H m 3 1 - w

= 3 - 1 =

l ;

 

 

 

 

 

 

 

x—l

 

 

3

 

 

 

4)lim sin *+ 2 = sin 0 = 0;

JE->-2 l+x

5)

lim lg У*2 — 3 = lg 1 = 0.

 

x~2

 

Если

точка а не принадлежит области

определения функции

/ (х), то

при отыскании предела функции

f (х) при х -> а всегда

требуется проведение специального исследования. В следующем параграфе приведены примеры вычисления подобных пределов Общий метод их вычисления дает дифференциальное исчисление.

6.6.ДВА ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ПРЕДЕЛА

Вдифференциальном исчислении большое значение имеют два предела.

1.Докажем, что справедливо следующее равенство:

lim —

=

1 .

(6.11)

а <-о

а

 

 

Точка а = 0 не принадлежит

области определения

функции

s " ^ a , в силу чего для вычисления этого предела надо провести спе­

циальное исследование.

 

 

 

 

Рассмотрим

тригонометрическую

окружность

радиуса

R—\

(рис.82). Пусть а — радианная мера

некоторого угла ЛОМ, удов­

летворяющего

условию

0 < а < ~ - . Очевидно,

имеем

 

 

 

ВМ<АМ<СМ

 

 

(6.12)

(где СМ — касательная

к окружности в точке

М). Но

AM =

7 Заказ № 146

165

= aR = a; BM -~= R sin a =

sin a;

CM =

R tg a = tg a,

поэ­

тому (6.12) принимает вид sin a

< a <

tg a;

или, деля на sin a

> О,

получим

 

 

 

 

 

к

^

 

-

<

-

і

-

.

 

 

sin

a

cos a

 

 

 

 

 

Перейдя к неравенству

между

обратными

величинами,

получим

 

 

. .

sin a .

 

 

 

 

(6 13)

 

 

1 >

 

>cosa .

 

 

 

 

 

Неравенство (6.13)

установлено

для

интервала

0 < с с < ^ - ^ - ,

 

однако нетрудно видеть, что замена a на — a не нарушает этого неравенства. Следовательно, оно справедливо и для интервала

 

 

M

 

 

 

< a < 0 .

Но

lim cos a =

 

 

 

 

 

= cos (lim a)

cos О

1,

поэтому

 

Аре в

 

 

из неравенства (6.13) вытекает фор­

1

 

с

мула (6.11) (см. § 5.13,

теорема 4).

0

г

г

2.

Докажем

теперь

следующую

 

 

 

 

 

формулу:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim (1

 

 

 

(6.14)

 

 

Рис. 82

 

 

Х^оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если аргумент

х

пробегает

последовательность

{хп}

=

\п) на­

туральных

чисел,

то, как мы видели выше (§ 5.6),

последователь­

ность

(|1 H—— ) ]

 

соответствующих

значений

функции

/ (х) =

= 1^1 +

— j

стремится к пределу е.

Докажем

теперь,

что и для

любой последовательности (х„) значений аргумента, такой, что

limx„ = co, последовательность

значений функции / (х)

l i m ( l + J -

I f l + ^ r - ) j соответствующих

Хм

тоже стремится к пределу е:

е. (6.15)

Отсюда в силу второго определения предела функции и будет следовать равенство (6.14).

Справедливость последнего утверждения вытекает из рассмот­

рения

двух

частных

случаев.

 

 

1.

Пусть

 

lim хп

=

+

с о . Пусть

значение хп

удовлетворяет не­

равенству m

хп

<

m + 1, где m — натуральное число. Тогда

 

 

 

 

 

 

m 4

1

(6.16)

 

 

1 + -

 

>

1 + -

1 + -

166

и с другой стороны

 

 

 

 

 

 

 

1

\ m --•

1

 

 

 

 

 

1

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

m + 1

 

Легко сообразить, что правые части неравенств (6.16) и (6.17)

стремятся к пределу е, откуда

(§ 26, теорема

1) и следует справед­

ливость (6.15) в рассматриваемом случае.

 

 

 

 

2. Пусть

lim хп = — с о .

Положим

 

«/„ =

— хп,

тогда будет

lim г/„ = +

с о . Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 \ * п

/

1 \~~ "Ѵ/г

/'

уп

 

*>Уп

 

 

 

j

, і'я 1 -

)N' Л\ . Un1 —

 

 

 

Первый множитель справа стремится

к 1, а второй,

по доказан­

ному в предыдущем пункте,— к числу е. Таким

образом, и в этом

случае имеет место (6.15).

 

 

 

 

 

 

Объединяя

пункты

1 и 2,

приходим к формуле (6.15) в общем

случае; таким

образом, формула (6.14)

доказана.

 

6.7.НАТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ

Втеоретических исследованиях бывает особенно выгодно поль­

зоваться логарифмами,

основанием которых служит

неперово

число е. Такие логарифмы

называются н а т у р а л ь н ы м и .

Натуральный логарифм

числа

х обозначается символом

In х. Так

как в практических расчетах пользуются преимущественно деся­

тичными логарифмами, то важно знать

модуль

перехода

от деся­

тичных логарифмов к натуральным. Пусть In х =

M lg х, где M —

указанный модуль. Отсюда x = e M i g x .

Взяв от

обеих

частей по­

следнего равенства десятичный логарифм, получим lg x =

M

\gx\ge

откуда с помощью десятичных таблиц находим M=—— = 2,3026 . . .

Ige

Таким образом, натуральный логарифм примерно в 2,3 раза

больше десятичного.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выведем

следующую

полезную

формулу:

 

 

 

 

 

 

,.

Іп ( I + х)

 

,

—

,„ ,

0 ,

 

 

 

 

h m

—

 

х

—

( 6 . 1 8 )

 

 

 

 

 

х^О

 

X

 

 

 

 

 

 

Полагая

-^- = у (у -*

с о ) ,

находим

 

 

 

 

l i

m

l n ( l + x ) = =

l i n i

l n (

1 + x

) , =

! i m i n / 1 + J _ y _

 

x*

0

х

дс-0

 

 

 

у -»оо

\

У '

 

 

 

- І П

 

um

 

 

 

 

ine

 

 

7*

167

Смотрите также файлы