Файл: Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие.pdf

Переходя к трехкратному интегралу, получим:

Вычисление массы тела. Пусть в области V распределена масса с плотностью f (х, у, г), где f (х, у, г) — непрерывная положительная функция, определенная в области V (будем в этом случае область V называть телом). Как было показано ранее (2.3), масса М тела~К может быть вычислена с помощью тройного интеграла:?

М = j j J / (x,'ry, "z) dxdydz.

Пример 4. Вычислить массу шара, плотность любой точки которого про­

M = k j f [ rs sin Bd&dqdr.

J y , - >

Заметим, что для любого г из промежутка [0, R ] переменная 0 может принимать любое значение из промежутка [0, я] и независимо от г и <р переменная ф может принимать любые значения из проме­ жутка [0, 2л]. Следовательно, граница области V' может быть пред­ ставлена в виде

Переходя к формуле (2.22) к трехкратному интегралу, соответст­ вующему указанной канонической форме задания границы V', имеем:

вычисление моментов тел. Пусть в области V распределена масса с плотностью / (х, у, z) (/ (х, у, z) — непрерывная положительная

функция, определенная в области У). Аналогично тому, как это было сделано для плоских областей (см. § 1.5), вводятся понятия статических моментов и моментов инерции области V относительно координатных осей и координатных плоскостей.

Введем следующие обозначения: Sx, Sy, Sz — статические мо­ менты тела V относительно координатных осей х, у, г; Sxy, Syz,

инерции тела V относительно координатных плоскостей Оху, Oyz, Oxz.

Возьмем в области V произвольную точку с координатами (х, у, г). Расстояния этой точки до координатных осей и координат­

Применяя рассуждения, аналогичные тем, которые привели нас к формулам (1.57), (1.58), получим следующие формулы:

50

пределения массы пропорциональна квадрату расстояния до плоско­

сти Оху:

]5 (х, у, z) — kz2 (k — const).

Применяя формулы (2.23), получим:

Легко видеть, что интервалы изменения цилиндрических коорди­ нат ср, г, z не зависят друг от друга:

0 < ф < 2л; 0 < г < R; 0 < z < а.

Расставляя пределы в тройном интеграле (2.24), имеем:

Вычисление координат центра масс тел. Определение центра масс, сформулированное ранее (см. § 1.5), обобщим на случай трех­ мерной области V. Центром масс трехмерной области будем назы­ вать точку, обладающую следующим свойством: если в эту точку поместить материальную точку с массой, равной массе всей области, то статический момент этой материальной точки относительно лю­ бой координатной плоскости равен статическому моменту самой области относительно этой же координатной плоскости. Пусть (хц, г/ц, 2Ц) — координаты центра масс области V. Тогда согласно определению имеем:

Используя формулы (2.23); (2.3), получим:

в примере 3. Вычислим сначала массу этого цилиндра:

М __ J J | kz2 dxdydz. v

Перейдем, как и в примере 5, к цилиндрическим координатам:

Из соображений симметрии относительно оси z (и цилиндр, и плот­ ность распределения массы симметричны относительно оси z) очевидно, что центр масс находится на оси z, т. е. хц = уц = 0. Вычислим гц, воспользовавшись результатом примера 5:

Таким образом, центр масс рассматриваемого цилиндра имеет

координаты (о, 0, -5 - а |

Г л а в а 3

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3.1. Криволинейные интегралы первого рода

Задача, приводящая к понятию криволинейного интеграла пер­ вого рода. Пусть требуется найти массу тяжелой нити. Под нитью будем понимать тело, двумя размерами которого можно пренебречь по сравнению с третьим размером (длиной). Под словами «тяжелая нить» будем понимать кривую линию с распределенной вдоль нее массой. Рассмотрим плоскую кривую АВ. Пусть в каждой точке кривой определена непрерывная положительная функция / (х, у), равная плотности распределения массы вдоль кривой. Разделим кривую АВ на п частей (частичных кривых) следующими друг за другом точками M lt М 2, ■■.,Мп- 1 (рис. 29). В каждой k-ой части кривой Mk-\Mk (к — 1, 2, . . . , п) (будем считать, что точка М0

52