Файл: Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие.pdf

Пример 2. Вычислить тройной интеграл

J = | [ J куг dxdy dz, v

где область V — часть шара х2 + у2 + z2 = 2, заключенная между координатными плоскостями у = 0 и г = 0, цилиндрической поверх­ ностью у = х2 и плоскостью х = 1 (рис. 24). Граница области F мо­ жет быть задана в следующей канонической форме:

Ри с . 24

Тогда тройной интеграл' может быть представлен трехкратным:

о2 о

Подставляя этот результат в трехкратный интеграл, имеем:

44

Учитывая этот результат, имеем:

J

Замечание. Легко убедиться, что этот же результат получается и при

любом другом порядке интегрирования. Например, если задать гра­ ницу V в виде (2.15)

Если область V не является простой, то формула (2.17) применима в том случае, когда область V может быть разбита на конечное число простых областей.

2.4. Замена переменных в тройном интеграле

Формула замены переменных в тройном интеграле. Пусть тре­ буется вычислить тройной интеграл [от непрерывной функции f (х, у, z) по простой области V:

J = jj [ j f (х, у, z) dxdydz.

У j

Пусть заданы функции, связывающие переменные х, у, г с пе­

Будем считать, что формулы (2.18) устанавливают взаимно­ однозначное соответствие между точками области V пространства с системой координат Oxyz и точками области У пространства с си­ стемой координат Oyxvt. Предположим, что функции (2.18) опре­ делены и непрерывны вместе со своими частными производными

45

в области V . Составим по аналогии с формулой (1.34) якобиан пре­ образования

Аналогично тому, как это было сделано для двойных интегралов (см. § 1.4), можно показать, что абсолютное значение якобиана, вычисленное в некоторой точке области V , геометрически может трактоваться как коэффициент растяжения объемов в окрестности данной точки при преобразовании (2.18), т. е.

объем соответствующей частичной области Vk, содержащейся в V ;

Переход в тройном интеграле к цилиндрическим координатам. Цилиндрическими координатами * называется система координат, в которой положение точки А пространства определяется коорди­ натами ср, г, z, где ф, г — полярные координаты в плоскости Оху точки А' — проекции точки А на плоскость Оху (рис. 25); г — ап­ пликата точки А.

Декартовы координаты точки А связаны с ее цилиндрическими координатами формулами х — г cos ф, у = г sin ф, z = г.

Вычислим якобиан этого преобразования:

* См. [3], § 1.5.

46

Подставив этот результат в формулу (2.19), получим формулу перехода в тройном интеграле к цилиндрическим координатам:

Переход в тройном интеграле к сферическим координатам. Сфе­ рическими координатами называется система координат, в которой* положение точки А определяется координатами 0, ср, г, где г — расстояние от точки А до начала координат; 0 — угол между векто­ ром ОА и осью 2, ф — угол между вектором ОА' и осью х (А' — про­ екция точки А на плоскость Оху) (рис. 26).

jj|§ Декартовы координаты точки А связаны с ее сферическими ко­ ординатами формулами:

— r sin 0 sin ф (r cos2 0 sin ф + r sin2 0 sin ф) —

-r sin 0 cos ф (r cos2 0 cos ф + r sin2 0 cos ф) =

—r2 sin 0 sin2 ф— r2 sin 0 cos2 ф = — r2 sin 0.

*Cm. [3], § 1.5.

47

Таким образом

I = — r2sin 0.

Подставив этот результат в формулу (2.19), получим формулу перехода в тройном интеграле к сферическим координатам:

[ Сj f (х, у, z) dxdydz=

V

г sin 0 cos cp, rsin0sinq),rcos0)r2sin0dq)d0dr. (2.21)

2.5.Приложения тройных интегралов

Вычисление объемов тел. Пусть тело занимает в пространстве область V. Как показано выше, объем v этого тела может быть вы­ числен по формуле (2.12):

v — ГГ Гdxdydz. v

Пример 3. Вычислить объем v эллипсоида:

а2 Ь2 с2

Обозначим область, ограниченную этим эллипсоидом, V, тогда

V

Сделаем замену переменных:

х = ar sin 0 cos ф; у — br sin ф sin 0; z — cr cos 0.

Якобиан I этого преобразования равен:

48