Файл: Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие.pdf

имеет место формула, аналогичная формуле (3.11):

у= х2 от точки (0, 0) до точки (2, 4). Воспользуемся формулой (3.12):

58

в плоскости Оху задана кривая L (АВ), в каждой точке которой определена функция f (х, у). Разобьем эту кривую на п частей (ча­ стичных кривых) L 1; L 2, . . . , Ln. Обозначим, как и ранее, через %п— ранг дробления кривой, т. е. наибольшую из длин частичных кривых Lk (k = 1, 2, . . . , п). Пусть ДхА и Аyk — проекции k-ой частичной кривой L на оси координат. В каждой из частичных кри­ вых Lk выберем по точке Р (xk, yk).

Составим интегральную сумму:

П

И Н ч , ук) Ач -

к= 1

Если при стремлении к нулю ранга дробления кривой сущест­ вует конечный предел этой суммы, не зависящий ни от способа раз­ биения кривой L на части, ни от выбора точек Pk (xk, yk), то этот предел называется криволинейным интегралом второго рода по ко­

59

Заметим, что определения криволинейных интегралов второго рода отличаются от определения криволинейного интеграла первого рода тем, что при составлении интегральных сумм значения функ­ ций в выбранных точках f [xk, yk) умножаются не на длину &-ой кривой Alk, а на проекцию этой кривой на соответствующую ко­ ординатную ось.

В большинстве приложений бывает полезно совместно рассмат­ ривать оба интеграла (3.17) и (3.18), вычисленные от разных функ­ ций, но вдоль одной и той же кривой. Пусть в каждой точке кривой заданы две функции Р (х, у) и Q (х, у). Пусть существуют интегралы

В дальнейшем для упрощения терминологии криволинейный интеграл второго рода «общего вида» будем называть просто криво­ линейным интегралом. Для криволинейных интегралов справед­ лива теорема существования, аналогичная теореме существования криволинейных интегралов первого рода. Сформулируем ее без

доказательства.

Теорема. Если функции Р (х, у) и Q (х, у) непрерывны вдоль

кривой L, а множество значений этих функций, вычисленных в точ­ ках кривой L, ограничено, то существует криволинейный интеграл типа

J Р{х, y)dx+Q (x, у) dy.

L

Физический смысл криволинейного интеграла. Пусть в плоско­ сти Оху движется материальная точка, описывающая кривую L, и пусть в каждой точке этой кривой на материальную точку дейст­ вует сила F (х, у), заданная равенством:

где Р (х, у) и Q (х, у) — функции, определенные и непрерывные в каж­ дой точке кривой L. Требуется вычислить работу, совершаемую силой F (х, у) при перемещении материальной точки вдоль кривой L от точки А до точки В. Разобьем кривую L (рис. 30) на п частей следующими друг за другом точками М 1у М 2, . . . , М „_ ь коор­ динаты которых обозначены (xk, yk) (рис. 30). Пусть радиус-вектор этих точек обозначен соответственно rk (k = 1, 2, . . . , п), причем точка А совпадает с точкой М0, а точка В — с точкой /VIп. Вектор — перемещение материальной точки вдоль &-ой частичной кривой может быть записан в виде

60

Координаты этого вектора обозначим соответственно Ахк и Дук:

2, . . . , п) на материальную точку действует постоянная сила F (хк, ук), равная силе, действующей в некоторой произвольно

выбранной точке Pk (xk, yk), лежащей на частичной кривой Мк—\Мк (заметим, что ошибка, которую при этом делаем, уменьшается при уменьшении ранга дробления кривой). Тогда работа Ak, совершае­ мая силой F (х, у) на перемеще­

нии Атк может быть приближенно вычислена, как скалярное произ­ ведение вектора— силы на вектор— перемещение:-

Ак.= F (xk, ук)А rk.

Для суммы работ, совершенных силой F (х, у) на частичных кри­ вых, получим:

А= '£ F (хк, yk) Arh. (3.22) k=x

Записав скалярное произведение в координатной форме, полу­ чим:

А = ;1 2 [Р(хк, Уk) Axk+ Q (xk, yk)Ayk].

Перейдем в этом равенстве к пределу при стремлении к нулю ранга дробления кривой. С учетом формул (3.17), (3.18) и (3.19) получим:

Заметим, что равенства (3.20) и (3.21) дают основание записать криволинейный интеграл (3.19) в векторной форме, т. е. как интег­ рал от скалярного произведения векторных величин:

Таким образом, работа переменной силы вдоль некоторой кри­ вой может быть выражена криволинейным интегралом.

Свойства криволинейного интеграла. Для упрощения записи свойств криволинейных интегралов будем записывать их в вектор­ ной форме, считая, что все рассмотренные интегралы существуют.

61