Файл: Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 72

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Свойство 6. Если функции / х (х, у, z) и f2 (х, у, z) таковы, что для всех точек области V справедливо соотношение

h(x, у, 2) > / 3(л:, у,

z),

(2.9)

то

 

 

 

J J f h (х,

У, 2) А>> J [' J f2 (х,

у, z) dv.

(2.10)

у'

V

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим функцию Ф (х, у, z), определенную соотношением

Ф (х, у, z) = f1(x, у, z)—f2(x, у, z).

Из формулы (2.9) следует, что Ф (х, у, г) > 0. Применив к функ­ ции Ф \х, у, z) свойство 5, получим требуемое неравенство (2.10).

Свойство 7. Если числа т и М таковы, что для всех точек обла­ сти V справедливо соотношение

m^Cf(x, у, 2) < М ,

то

J f J / (я, г/, z)dv-^Mv,

 

/щ>

(2-11)

 

j yj

 

где v — объем области

V.

 

Доказательство этого свойства аналогично доказательству свой­ ства 7 двойных интегралов, при этом имеет место формула, анало­

гичная формуле (1.16):

 

t» = JJfdu.

(2.12)

Jv'

 

Теорема о среднем. Свойство 8. Если функция f (х, у,

z) непре­

рывна в замкнутой области V, то в этой области найдется такая

точка Р (х0, у0, z0), для которой справедливо равенство

 

J f j V ( * , У, z)dv = f(xо, г/о. 20) V.

(2.13)

v

 

Доказательство этого свойства аналогично доказательству свой­ ства 8 для двойных интегралов.

2.3. Вычисление тройных интегралов

Простая область в трехмерном пространстве. Понятие ’области простой в заданном направлении (см. §1.3), распространяется и на

случай трехмерной области: область V называется п р о с т о й

в на­

п р а в л е н и и I,

если любая прямая, проходящая через внутреннюю

точку области, параллельно I

пересекает границу области в двух

и только в двух точках.

Область V, заданную

в декартовой си­

стеме

координат

Oxyz,

будем

называть

п р о с т о й ,

если она яв­

ляется

простой

в направлении

осей х, у, г. Проекции области V

на

координатные плоскости

обозначим

соответственно

Dx, Dy,

Dz,

где Dx — проекция

на плоскость

х = 0,

a Dy

и Dz — со­

ответственно на

плоскости

у =

0 и z =

0

(рис.

22). Легко видеть,

40

что если V — простая область, то ее проекции на координатные оси также являются простыми областями.

Рассмотрим способы задания границы простой области V. Пусть

граница области Dz в плоскости z = 0 задана в канонической форме:

х = а\

 

х=Ь\

 

 

У = Уи(х);

у=Угг(х)

 

(индекс z у функций у1г (х) и у ( х )

указывает, что эти кривые

распо­

ложены в плоскости z =

0).

Тогда

область V можно изобразить (в наи­

более общем случае) так,

как по­

казано на рис. 23. «Задней стен­

кой» области является часть пло­

скости х — а (фигура BBxQjCjCQ).

«Передней

стенкой»

является

часть плоскости

х = b

(фигура

АА уР^Е^Р). «Левой стенкой» и х

«правой стенкой» являются соответ­

Рис. 22

ственно цилиндрические поверхно­ сти у = у1г (х) и у = г/22 (х). (Обра­

зующие этих поверхностей параллельны оси г, а направляющими являются линии, входящие в состав границы области Dz). Ниж­ ней и верхней границами области V являются поверхности

ABQCEP и A 1B1Q1C1E1P.

Пусть

уравнения

их соответственно

z — Zj (х, у) и z = z2 (х, у). Таким

образом,

граница области V

может быть задана в виде

 

 

 

 

 

х — а\

 

x=b\

I

 

У = У1г(х)-,

у = Учг(*)'.

 

(2.14)

Z = Zi(x,

у)\

z = z2{x,y). J

 

41

Эту форму задания границы области V будем называть канони­ ческой формой. Меняя порядок рассмотрения переменных, получим другие канонические формы задания границы области V. Очевидно, что существует 6 канонических форм задания границы области (столько, сколько существует различных перестановок трех объек­ тов). Приведем для примера еще две канонические формы задания границы области:

у = с\

 

y = d\

z = e\

z = f\

(2.16)

x

=

x t

г {у)\

x =

x z (y )\

(2.15) x = xly(z);

x x2y (z)-,

 

 

 

2

y = yi(x, z);

y = y2(x, z).

 

z =

z 1(x , уУ,

z =

z 2(x , у У

 

Трехкратные интегралы. Пусть в простой области V задана не­ прерывная функция / (х, у, г). Выберем произвольную точку с ко­ ординатами (х, у) из области Dz. При фиксированных значениях переменных х и у функцию / (х, у, г) можно рассматривать как функ­ цию одного переменного z, определенную в интервале [zx (х, у), z2 (х, у) ]. Если проинтегрируем в этих пределах функцию / (х, у, г) по' z (при фиксированных х и у), то получим результат, зависящий от зафиксированных значений переменных х и у, т. е. функцию от двух переменных х и у. Обозначив эту функцию F (х, у), имеем:

( * . у)

F{x, у) = J /(х , у, z) dz.

?l (X, у)

Итак, в каждой точке области Dz определена функция F (х, у). Будем считать, что эта функция интегрируема в области Dz и вы­ числим интеграл

[ (■F (х, у) dxdy. '°г

В этом двойном интеграле расставим пределы интегрирования. Так как это можно сделать двумя способами, то получим одно из

следующих двух

выражений,

которые

обозначим соответственно

/

и I

■

 

 

 

 

 

 

 

1zyx

лгх у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ь

y2Z «

?2 (.v, y)

f (x, у,

z)dz,

 

 

1zyx~ [’ dx

j1

dy

I*

 

 

 

’a

ylz

(x)

 

\x, y)

 

 

 

 

I

d

x 2z W

z2

y)

f (x,

y, z)dz.

 

 

zxy = Cdy

J

dx

(

 

 

 

c

x^z (y)

z1 \x, y)

 

 

Величины Izyx и Izxy, получающиеся в результате трехкратного интегрирования функции / (х, у, z), называются трехкратными (или

.повторными) интегралами от функции f (х, у, z) по области V, при­ чем нижние индексы указывают на порядок интегрирования.

Легко заметить, что меняя порядок интегрирования, можно по­ лучить всего шесть видов трехкратных интегралов, каждый из ко­ торых соответствует одной из канонической форм задания границы

42

области V. Так, например, канонической форме задания границы V (2.16) соответствует трехкратный интеграл:

f

* 2у ( г )

У2 (х, у)

I yxz = $dz J

dx J f(x, у, z)dy.

e

xiy(2)

yi(x’ y)

Вычисление тройного интеграла с помощью трехкратного. По­ добно тому, как двйной интеграл вычисляется с помощью двух­ кратного интеграла, тройной интеграл может быть выражен через трехкратный интеграл. Имеет место теорема, которую сформули­ руем без доказательства.

Теорема. Если функция f (х, у, г) интегрируема в простой об­

ласти V, то тройной интеграл от этой функции по области V равен любому из ее трехкратных интегралов по этой области.

Формула

 

Ъ

VazW

Z2(Jс, у)

$!\!if(x,y ,z ) dxdydz = jdx

J

dy J f(x,y,z)d z. (2.17)

V

а

У12(х)

z x (*,!/)

является одной из шести возможных реализаций сформулирован­ ной теоремы.

Пример 1. Вычислить тройной интеграл

 

7 = 1 ( 1

(х Ц- у + z) dxdydz,

 

V

 

где

область V — прямоугольный

параллелепипед 1 < х < 2; 2 < ( / < 3 ;

О <

г < 1.

 

Расставляя пределы по формуле (2.17), получим:

2

3

1

 

J = ( dx ( dy J (х + у + z) dz .

1

2

О

 

■Вычислим внутренний интеграл (по переменной г):

■z) dx = (x +

y +

z)3 |i =

(х + у + 1 У2— (х + уУ

 

2

Ю

2

 

~

х “Ь У

0,5.

Подставляя этот результат в трехкратный интеграл, получим:

2 з

7 = j dx j ( х у -\-О ,Ъ) dy.

\2

Вычислим внутренний интеграл (по переменной у):

J (x + y + 0 , 5 ) 7 , =

(^ +

У + °у5), . [з

= J x +

3_,_5)i - ( x + 2,5)3 ■■х+З,

Учитывая этот результат имеем:

 

 

7 =

(x +

3)7, = i i + ^ | 2 = 5- ^ i ! = 4,5.

J

 

2

'1

2

43

Смотрите также файлы