Файл: Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 82

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Д о к а з а т е л ь с

т в о ф о р м у л ы Г р и н а , Будем до-

называть эту формулу

в два этапа: сначала докажем

 

j ) Р (х,

у) dx =

— j* j dp-j£ y)■dxdy,

(3.30)

 

L

 

 

 

D

 

а затем

 

 

 

 

 

 

 

j)Q(x,

y)dy = j

j* dQ(^ -y-i dxdy.

(3.31)

 

L

 

 

2>

 

Складывая оба результата, получим формулу Грина.

 

1.

Докажем формулу

(3.30). Представим L, как границу про

стой области в первой канонической форме (1.19):

 

 

|

х = а\

 

х = Ь

 

 

I У = уЛх)\

У = Уъ(х)•

 

Разобьем кривую L на части (рис. 32): АЕ, EF, Fh(,

КА, тогда

 

{ Р (х, у) dx = J

Р (х, y)dx+ J Р (х, у) dx +

 

 

 

АЕ

 

 

EF

 

 

+ | р (х,

у) dx + J Р (х, у) dx.

 

 

FK

 

 

 

КА

 

Заметим, что интегралы по отрезкам EF и КА равны нулю, так

как на этих отрезках dx =

0.

Кроме того, в интеграле по дуге FK

изменим направление, чтобы оно совпадало с направлением воз­ растания х. Тогда, заменяя криволинейные интегралы определен­ ными, получаем:

 

J Р (х,

y)dx=

J Р (х, у) dx— J

Р (х, у) dx =

 

 

 

 

АЕ

KF

 

 

 

 

=

I [Р (X,

у1 (х)) — Р (х,

уг (х)) ]dx.

 

 

 

 

а

 

 

интеграл Г[ - Р ^ ’ —dxdy,

С другой

стороны, вычисляя двойной

 

 

 

 

 

 

 

ду

имеем:

 

 

 

ViМ

 

О

 

 

 

 

 

 

у1W dx-

 

дР (х, у)

dxdy= 1 dx

дР (х, у) dy = | Р(х, у)

 

ду

 

 

ду

 

 

г/i (х)

 

 

 

 

уI №

 

 

 

 

 

= ] IP (х,

Уг(х)) — Р(х,

у! (*))] dx.

 

Сравнивая этот результат с предыдущим, получаем формулу

(3.30).

Доказательство формулы (3.31)

аналогично только что при

2.

веденному доказательству формулы (3.30). Итак, формула Грина доказана.

67

Пример 7. Вычислить с помощью формулы Грина криволинейный интеграл

J= f (х2+ у3) dx + (3ху2+ x)dy,

1

где L — окружность х2 + у2 — R2.

 

Вычислим

3Q (х, у)

дР (х, у)

выражение

------;-------- 5——-, считая, что Р (х, у) —

= х2 + у3,

Q (х, у) = Зху2 +

дх

ду

х;

 

Щ ?’ у)--

ЁИъЖ = (3^ + 1) _

зу* = 1.

дх

ду

 

Применив формулу Грина, имеем:

 

f (х2+ У3) dx + (Зху2+ х) dy =к |

j dxdy.

1

D

Получившийся интеграл согласно формуле (1.16) численно равен площади области D, т. е. nR2.

Окончательно получаем: J — nR2.

3.4.Условия независимости криволинейного инкеграла от пути

интегрирования

Постановка задачи. Пусть функции Р (х, у) и Q (х, у) опреде-

dQ

лены и непрерывны вместе со своими частными производными —

дх

дР

 

и -----в области G. Рассмотрим интеграл Г Р (х, у) dx + Q (х, у) dy,

ду

L

вычисленный вдоль

кривой L от точки А до точки В. (Кривая L

целиком лежит в области G). Возможны случаи, когда результаты интегрирования вдоль любой кривой, лежащей в G и соединяю­ щей точки А я В, совпадают, т. е. при интегрировании от точки А до точки В криволинейный интеграл не зависит от пути интегриро­ вания. Если это справедливо для любых двух точек из области G, то такой криволинейный интеграл называется не зависящим от пути интегрирования.

Выясним условия,

при которых криволинейный интеграл,

j1Р (х, у) dx + Q (х, у)

dy не зависит от пути интегрирования.

L

Условие 1. Равенство нулю криволинейных интегралов по замк­ нутым контурам.

Теорема 1. Для того, чтобы в области G криволинейный интег­

рал не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы криволинейный интеграл J Р (х, у) dx+Q (х, у) dy по любому

L

замкнутому контуру, целиком лежащем в G, был равен нулю.

Д о к а з а т е л ь с т в о . 1. Необходимость. Пусть криволи­ нейный интеграл в области G не зависит от пути интегрирования. Докажем, что криволинейный интеграл по любому замкнутому кон­ туру из G равен нулю. Возьмем произвольный контур L и выберем

68

на нем произвольные точки А , В , М , N , расположенные так, как показано на рис. 33. Обозначим кривую АМВ буквой Ьъ а кривую ANВ — L 2. Обе кривые соединяют точки А и В и, следовательно,

 

J Р (х, y)dxJr Q (х, у) dy = \ Р (х, y)dx+Q (х, у) dy,

(3.32)

т. е.

 

 

J Р (х,

 

 

J

Р (х, y)dx-\-Q (х, y)dy—

y)dx+Q (х, у) dy = 0.

(3.33)

А М В

 

 

A N B

 

 

Изменив во втором интеграле направление интегрирования,

получим:

 

 

J Р(х,

 

 

J

Р(х, у) dx + Q(x, у) dy -f

y)dxJr Q(x, y)dy = 0.

(3.34)

А М В

 

 

B N A

 

 

Используя свойство 3 криволи­

 

 

нейных интегралов, получим:

 

 

 

 

[§Р(*,

y)dx+Q(x,

у) dy — 0,

 

 

 

L

 

 

 

 

 

что

и требовалось доказать.

 

 

 

2. Достаточность. Пусть криволи­

 

 

нейный интеграл по любому замкну­

 

 

тому контуру равен нулю. Докажем,

 

 

что в этом случае криволинейный

 

 

интеграл не зависит от

пути интегри­

 

 

рования, т. е. для любых точек А и В

 

 

и кривых L

x и L 2 и з G,

соединяющих

 

 

эти

точки,

справедливо равенство (3.32). Возьмем в G две любые

точки А и В (рис. 33).

Пусть L x (АМВ) и Ь2 (ANB) — две любые

кривые, соединяющие

точки

А я В.

Обозначим замкнутый

кон­

тур

ANBMA буквой L. По условию

 

 

&Р (х, у) dx + Q (х, у) dy = 0.

L

Применяя свойство 3 криволинейных интегралов, получим ра­ венство (3.34), откуда следует равенство (3.33) и затем (3.32), ко­ торое и требовалось доказать.

Условие 2. дР

8Q Теорема 2. Для того, чтобы кртолиней-

ду

дх

ный интеграл в области G не зависел от пути интегрирования, не­ обходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой области выпол­ нялось равенство:

дР (х, у) _

3Q (х, у)

(3.35)

ду

дх

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . 1. Достаточность. Возьмем в области G произвольный замкнутый контур L. Область, ограничиваемую этим контуром, обозначим буквой D. Применим формулу Грина

(3.29).

69

Если выполнено условие (3.35), то правая часть в формуле равна нулю, т. е. интеграл по произвольному замкнутому контуру ра­ вен 0. Следовательно, по теореме 1 криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.

2. Необходимость. Пусть криволинейный интеграл не зависит

от пути интегрирования. Докажем,

что в каждой точке области G

выполняется условие (3.35).

Допустим,

что в некоторой точке,

(х0, у0) это условие не выполняется,

пусть,

например,

9Q (х0, уо)

дР (х0, уо)

q

дх

 

ду

 

Тогда в силу непрерывности частных производных найдется такая окрестность точки (х0, у0) и такое число т^>0, что в каждой точке этой окрестности

dQ (х, у)

дР (х, у) ^ т

дх

ду

^

 

Обозначим эту окрестность буквой D,

а границу ее — L, тогда

по свойству 5 двойных интегралов (см.

§

1.2)

D

где 5 — площадь области D.

С другой стороны по формуле Грина этот интеграл равен нулю, так как он равен криволинейному интегралу по замкнутому кон­ туру, который в силу теоремы 1 равен нулю. Полученное противо­ речие исключает принятое допущение и, следовательно, доказы­ вает условие (3.35).

Теорема 2 доказана полностью.

Условие 3: Выражение Р (х, у) dx-\- Q (х, у) dy является полным

дифференциалом.

интеграл

\Р (х, у) dx +

Q (х, у) dy в об-

Теорема 3.

Чтобы

ласти G не

зависел

от

пути

L

необходимо

и

интегрирования,

достаточно,чтобы в области G выражение Р (х, у) dx +

Q (х, у)

dy

было бы полным дифференциалом.

 

 

выражение

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для того, . чтобы

Р (х, у) dx +

Q (х, у) dy было полным дифференциалом, необхо­

димо и достаточно, чтобы выполнялось условие (3.35).*

Если при

этом учесть теорему 2, то получим, что теорема 3 справедлива. Обобщенное утверждение. Рассмотрим следующие 4 утвержде­

ния:

У т в е р ж д е н и е 1. Интеграл по любому замкнутому контуру из G равен нулю.

* См. [3], § 7.5.

70

Смотрите также файлы