Файл: Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие.pdf

Свойство 1.

где c — произвольная постоянная.

Свойство 2.

Свойства 1 и 2 вытекают из определения криволинейного интег­ рала с учетом соответствующих свойств скалярного произведения векторов.

Свойство 3. Если кривую L разбить на две части Lx и L 2, не имеющие общих внутренних точек, то

Доказательство этого свойства совершенно аналогично доказа­ тельству соответствующего свойства криволинейного интеграла первого рода.

Свойство 4. При перемене направления интегрирования криво­

При изменении направления интегрирования значения вектор­

ной функции F (хк, yk) не меняются, а векторы ДгА меняют направ­ ления на обратные, следовательно, скалярные произведения F {xk, yk) ДгА (k = 1, 2, . . . , п) изменят знаки. Таким образом, изменит знак вся интегральная сумма и, следовательно, будет иметь место равенство (3.25), что и требовалось доказать.

Сведение криволинейного интеграла к определенному интегралу. Пусть кривая L, вдоль которой вычисляется криволинейный ин­ теграл, задана параметрическими уравнениями:

•* = х (0, у = у (0»3

Будем считать, что функции х (t) и у (t) непрерывны в проме­ жутке [а, р ] и имеют в этом промежутке непрерывные производные х' (t) и у' (t). Пусть разбиению кривой L на п частей соответствует разбиение промежутка [а, р ] на п частей:

а = < h < t2< . . . < tn = р.

62

Составим интегральную сумму 2 f(xk> Ук)^хк- Величины Дхь

k = \

входящие в эту формулу, могут быть преобразованы по формуле Лагранжа:

Так как при кп -*■ 0 стремится к нулю и max {Atk}, то выражение, стоящее в правой части равенства, совпадает по определению с оп­ ределенным интегралом по переменной С т. е.

J7(*. y)dy = ]f{x(t), y(t))x'(t)dt.

Аналогично может быть вычислен и интеграл (ЗЛ8):

Таким образом, преобразование криволинейного интеграла со­ стоит в замене х и у на функции от переменной t, a dx и dy на диф­

Формулы (3.26) и (3.27) позволяют вычислять криволинейный интеграл с помощью определенного.

Криволинейный интеграл по пространственной кривой. Понятие криволинейногр интеграла, введенное для плоской кривой L, легко обобщается на случай, когда L — пространственная кривая. Пусть

63

в каждой точке кривой L задана векторная функция F (х, у, г), которая может быть представлена в виде:

Fj(x, у, z) = P(x, у, z ) i + Q ( x , у, z)j + P(x, у, г) к.

Заметим, что задание в пространстве одной векторной функции F (х, у, z) равносильно заданию трех скалярных функций Р (х, у, г),

Q (х, у, z) и R (х, у, z).

Криволинейный интеграл по пространственной кривой L опре­ деляется формулами, аналогичными формулам (3.17), (3.18), (3.19) и может быть записан как в векторной, так и в скалярной форме:

Очевидно, что приведенные выше свойства 1— 4 криволиней­ ных интегралов справедливы и для криволинейного интеграла, вычисленного вдоль пространственной кривой.

Если кривая L задана параметрически:

x = x{t), y = y(t), z = z(t), ( a < i f < P ) ,

то справедлива формула, аналогичная формуле (3.26):

Подставим в интеграл выражение для х, у, dx, dy:

х = Р; у — Р; dx = 3t2dt; dy = 2tdt.

Получим согласно формуле (3.26):

У = J [(р _| 1*) ЗР + (Р — Р) 21] dt = | (ЗР + ЗР + 2Р — 2Р) dt =

Пример 5. Вычислить криволинейный интеграл У = J xydx -f- -У—dy, гдэ

L х

кривая L — парабола у = х%от точки (1, 1) до точки (2, 4). Учитывая, что у' = 2х и 1 < х <2, получаем в соответствие с формулой (3.27):

64

1 1

/ = J х2п+2 (хп + пхп) dx = ( n + 1) Г х3п+2 dx =

Заметим, что при разных п получаем разные кривые, проходящие через точки А и В. Результаты интегрирования вдоль всех этйх кривых оказываются равными, т. е. не зависящими от пути интегрирования.

3.3. Формула Грина

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру. Рассмотрим криволинейный интеграл:

J = I Р (х, y)dx+Q (х, у) dy. L

Если конечная и начальная точки кривой L совпадают, то кри­ вая называется замкнутой кривой или замкнутым контуром. В слу­ чае, когда требуется подчеркнуть, что криволинейный интеграл вычисляется по замкнутой кривой, его обозначают так:

J = § Р(х, у) dx+ Q (х, у) dy.

L

Будем считать, что кривая L не имеет точек самопересечения и является границей простой области D (см. § 1.3). Пусть граница области D может быть задана в одной из канонических форм (1.19)

или (1.21).

Как видно из § 3.2, направление интегрирования влияет на ре­ зультат интегрирования (см. свойство 4). При интегрировании вдоль незамкнутых кривых направление интегрирования опреде­ ляется заданием начальной и конечной точек.

При интегрировании вдоль замкнутого контуранаправление интегрирования не определяется заданием начальной и конечной точек, так как они совпадают. Для того, чтобы понятие криволи­ нейного интеграла вдоль замкнутого контура было однозначным, одно из двух возможных направлений обхода замкнутого контура принимается за положительное направление и при отсутствии спе­ циальных оговорок все криволинейные интегралы вдоль замкнутого контура вычисляются в этом направлении.

Определение. Положительным направлением обхода замкнутой

кривой называется то направление, при котором ближайшая к на­ блюдателю часть области, ограниченной кривой, оказывается слева от наблюдателя, совершающего обход. Заметим, что все результаты,

которые будут нами получены в предположении, что область D ■простая, легко обобщить на случай, когда область D не является

65

простой, но может быть разбита на конечное число простых обла­ стей. Сформулированное выше определение положительного на­ правления обхода замкнутой кривой применимо и для случая, когда область D не является простой. На рис. 31 изображена простая об­ ласть D x и область D a, не являющаяся простой. Для обеих областей указано положительное направление обхода. Заметим, что для про­ стой области положительное направление обхода совпадает с об­ ходом против часовой стрелки.

Формулировка теоремы Грина. Теорема. Если в замкнутой про­ стой области D определены и непрерывны функции Р (х, у) и

где L — граница области D.

Формула (3.29) называется формулой Грина. Она выражает интеграл по области D через интеграл по ее границе L.

Замечание. Отметим некоторую кажущуюся странность формулы Грина.

В левой части равенства (3.29) переменные х н у входят, на первый взгляд, «на равных правах», или, как иногда говорят, «симметрично». Действительно, если поменять местами х с у и Р с Q, то выражение не изменится. При этом может вызвать удивление тот факт, что в правой части равенства только у одного из слагаемых появляется знак «—». Где же скрытая «несимметричность» переменных х н у , входящих в ле­ вую часть равенства? Оказывается, что «несимметричность» появилась с выбором положительного направления обхода замкнутой кривой. Например, чтобы совместить оси х н у кратчайшим вращением, надо или ось х вращать в положительном направлении (против часовой стрелки), или ось у вращать в отрицательном направлении, (т. е. по часовой стрелке). Таким образом, относительно вращения (обхода замкнутой кривой) переменные х и у не «симметричны», в результате чего правая часть формулы Грина (3.29) «несимметрична» относительно х и у. Заметим, что если за положительное направление обхода замкну­ той кривой принять направление, противоположное принятому, то в формуле Грина изменятся знаки у слагаемых, входящих под знак двойного интеграла.

6Б