Файл: Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие.pdf

Раздел II

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Г л а в а 4

СОБЫТИЯ И ИХ ВЕРОЯТНОСТИ

4.1.Предмет теории вероятностей и математической статистики

Изучая закономерности окружающего мира, исследователь среди бесконечного многообразия взаимосвязанных и взаимообусловлен­ ных предметов и явлений выделяет интересующие его событие А и определенный комплекс условий S. Между выделенным комплек­ сом условий и событием возможен следующий характер связей:

1)если выполняется комплекс условий S, происходит событие А;

2)если выполняется комплекс условий S, событие А не проис­

ходит;

3)если выполняется комплекс условий S, событие А иногда

происходит, а иногда не происходит.

, В первых двух случаях говорят, что между комплексом условий 5 и событием А существует неслучайная или детерминированная связь. Примером детерминированной связи между условиями и событием может служить хорошо знакомое всем явление: при ат­ мосферном давлении и температуре 100° С (комплекс условий S) вода закипает (событие А). Для количественного описания детер­ минированных связей с успехом применяется математический аппа­ рат, изучавшийся в предыдущих разделах курса * (понятие функ­ циональной зависимости, дифференциальное и интегральное ис­ числение, дифференциальные уравнения и др.).

Втретьем случае событие А называют случайным по отношению

ккомплексу условий S. Например, случайным является падение монеты гербом вверх (событие А) при подбрасывании (комплекс условий S). Телевизоры, изготовленные одним и тем же заводом, при одной и той же технологии производства (комплекс условийS) иногда работают в течение гарантийного срока без ремонта (собы­ тие А), а иногда выходят из строя до истечения этого срока. Здесь событие А также является случайным по отношению к комплексу условий 5.

Случайность явления по отношению к комплексу условий еще не означает отсутствия всякой закономерной связи между ними. Как показывает практика, для широкого класса явлений законо­

мерности связи между случайным событием А и комплексом усло-

См. [1] - [4].

вий 5 проявляются при многократном воспроизведении условий 5 и могут быть описаны следующим образом.

Пусть проводится достаточно длинная серия из я испытаний, каждое из которых состоит в воспроизведении комплекса условий S. Обозначим т (А) — число тех из проведенных испытаний, в ко­ торых произошло событие А.

Определение. Частотой события А в рассматриваемой серии

Если с увеличением п частота события А лишь слегка колеблется около некоторого постоянного числа р и в различных, достаточно

бытием А существует вероятностная связь. Вероятность р события А служит объективной количественной оценкой возможности появле­ ния этого события при осуществлении условий 5.

Простейшим примером явления, подчиненного вероятностным закономерностям, служат опыты с подбрасыванием монеты. На

К. Пирсон бросал монету 24 000 раз, при этом герб выпал 12 012 раз. Число выпадений герба в десяти сериях по 1000 бросаний мо­ неты в каждой, которые проделал Дж. Керрих, равнялось соот­ ветственно 502; 518; 497; 529; 504; 476; 507; 528; 504; 529. Нетрудно видеть, что во всех этих опытах частота выпадения герба близка к 1/2, поэтому вероятность этого события естественно считать рав­ ной 1/2. Наблюдения показывают, что вероятностным закономер­

73

ностям подчинены также массовое производство и эксплуатация различных изделий, результаты стрельб, ошибки измерения, по­ ведение пешеходов на многолюдных улицах и т. п.

При изучении вероятностных закономерностей нельзя ограни­ читься только теми методами, которые применяются при исследо­ вании детерминированных явлений, в частности, математическим аппаратом, рассмотренным в предыдущих разделах курса. По­ скольку вероятностные закономерности проявляются в явлениях массового характера, для их экспериментального изучения необ­ ходим массовый эксперимент. Методы проведения таких экспери­ ментов и обработки полученных результатов разрабатываются ма­ тематической статистикой; данные экспериментов называют ста­ тистическими. Однако проведение массового эксперимента часто связано с большими расходами времени и средств, а иногда просто невозможно. В этих случаях необходим другой, теоретический путь исследования. Путь этот состоит в том, что установив простейшие вероятностные закономерности экспериментально, новые законо­ мерности выводят с помощью логических построений и вычисле­ ний. С этой целью строится математическая модель, т. е. вводятся абстрактные понятия, которые обладают свойствами, отражающими основные интересующие нас свойства реальных явлений. Такой путь изучения вероятностных закономерностей составляет содер­ жание теории вероятностей. Исходными понятиями теории вероят­ ностей являются понятия события и вероятности.

4.2. События. Обозначение и классификация событий

Будем говорить, что проводится опыт (испытание или экспери­ мент), если осуществляется фиксированный комплекс условий. Событиями называются возможные результаты (исходы) таких опы­ тов. Обозначать события будем большими печатными латинскими буквами: А, В, С и т. д.

Пример 1. Опыт: подбрасывание монеты. События:

А— монета падает цифрой вверх;

В— монета падает вверх гербом.

Пример 2. Опыт: розыгрыш очередного тиража спортлото. События: At —■в заранее заполненной по всем правилам карточке i зачерк­ нутых номеров совпадает с выпавшими номерами очередного тиража;

В— угадано четное число номеров;

С— по карточке можно получить выигрыш;

D — угадано число номеров, кратное трем (три или шесть); U — угадано не более шести номеров.

Пример 3. Опыт: трем игрокам раздается вся колода из 36 карт. События:

А— первая карта при раздаче оказалась тузом;

В— первая карта при раздаче оказалась бубновой масти;

С— у игрока, получившего первую карту, все карты красной

масти;

D — каждый игрок при раздаче получил одинаковое количество карт каждой масти;

Е— первая карта при раздаче оказалась красной масти;

Л — у всех -игроков оказалось одинаковое количество тузов.

74

Иногда события обозначают равенством, неравенством или фразой, заключенными в фигурные скобки.

Пример 4. Опыт: рабочий обслуживает два автоматических станка. Обо­

Пример 5. Опыт: бросание игрального кубика. События:

{выпадение на верхней грани четного числа очков} — выпадение 2, 4 или 6 очков;

{выпадение числа очков, кратного трем}; выпадение 3 или 6 очков; {т = i) — число т выпавших очков равно i (г = 1., 2, 3, 4, 5, 6).

Определение 1. Если некоторое событие обязательно наступает в результате проводимого опыта, его называют достоверным. До­ стоверное событие будем обозначать буквой U.

Определение 2. Событие, которое не может произойти в резуль­ тате рассматриваемого опыта, называется невозможным. Невоз­ можное событие будем обозначать буквой Л.

В примере 3 событие Л — «при раздаче всей колоды карт, со­ держащей четыре туза, трем игрокам у всех игроков оказалось оди­ наковое количество тузов» является невозможным.

В примере 2 достоверным является событие U — угадано не более шести номеров; невозможными, например, являются события Л7 и Л8 (угадано семь, соответственно восемь номеров из шести).

Определение 3. Если при осуществлении некоторого события А

обязательно осуществляется и событие В, то событие А называется частным случаем события В, а событие В — следствием события

Определение 4. Если события А и В могут осуществляться только вместе, они называются эквивалентными. Для эквивалентных со­ бытий справедливо

А а В и В а А .

Эквивалентность событий будем обозначать знаком равенства: Л = В. Эквивалентные события не различают между собой, как не различают, например, равные числа. Событие С— по карточке спорт­ лото можно получить выигрыш эквивалентно событию Е — в пра­ вильно заполненной карточке спортлото угадано не менее трех но­ меров.

75

Определение 5. Событие, состоящее в том, что в результате опыта не происходит событие А, называется событием противо­ положным событию А и обозначается А.

В примере 1 событие А, противоположное событию А (монета падает цифрой вверх), эквивалентно событию В (монета падает вверх

гербом): А = В.

В примере 2 событие С означает, что угадано менее трех номе­

ров. В примере,4 обозначим А = [х>у]. Тогда А = {х-фу}. Для любого события А справедливо равенство:

Очевидно, невозможное и достоверное события противоположны:

4.3. Алгебра событий

Произведение событий. Произведением (пересечением) событий А и В называется событие С, состоящее в том, что одновременно происходят события А и В.

Произведение событий будем обозначать АВ. Распространены также обозначения АС\В и \А и В).

В примере 3 через А обозначено событие, состоящее в том, что при раздаче колоды карт первая карта окажется тузом, а через В — событие, состоящее в том, что первая карта при раздаче ока­ залась бубновой масти. Событие АВ в этом примере заключается в том, что первая карта при раздаче колоды оказалась бубновым тузом.

Несовместные события. События А и В называются несовмест­ ными, если они не происходят одновременно.

Очевидно, произведение несовместных событий является невоз­ можным событием. Несовместность событий А и В равносильна

тому, что АВ ----- Л. События А и А всегда несовместны.

В примере 2 события А (- и As (угадано i, соответственно / номе­ ров) несовместны при i ф j. Несовместны события А 2— угадано два номера и С — по карточке спортлото можно получить выигрыш.

Если события А и В несовместны, то наступление события А влечет ненаступление события В , а наступление события В — ненаступление события А , т. е. А В = Л равносильно тому, что A d B

и В а А . Если А я В совместны ( А В ф А ) , то их произведение яв­ ляется частным случаем как события А , так и события В : А В а А ,

А В а в .

Сумма событий. Суммой (объединением) двух событий А и В называется событие D, которое состоит в том, что происходит по крайней мере одно из событий А или В.

Сумма событий обозначается А + В. Распространены также обозначения A\JB и {А или В]. Событие А + В происходит тогда,

76