Файл: Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие.pdf

Воспользовавшись формулой полной вероятности (4.42), находим:

Р (В) = 0,25-0,2 + 0,3-0,4 + 0,45-0,5 = 0,395.

Пример 24. Орудие ведет стрельбу по цели, расположенной на прямоли­ нейном участке MN, который мысленно разбит на пять небольших участков: МС+ С1В1, В1В2, В2С2, С2Ы (рис. 44). Точное местополо­ жение цели не известно, но некоторым образом определены вероятно­ сти того, что цель лежит на одном из перечисленных участков:

р (ВгВ2) = 0,48; Р (C iB j) = Р (В2С2) = 0,21; Р (МСг) = Р (C2N) = 0,05.

Первый выстрел производится по участку ВгВ2, на котором наи­ более вероятно находится цель. Если снаряд попадает на участок, содержащий цель, цель прекращает функционировать. Из-за неиз­ бежных ошибок стрельбы снаряд, направленный на участок ВгВ2, попадает на этот участок только с вероятностью 0,56. Вероятности

Если после разрыва снаряда цель продолжает функционировать, зна­ чит снаряд не попал на участок, в котором расположена цель. Так как промах — событие, противоположное попаданию, используя условия задачи, нах-одим:

Р (В/Н&) = 1 — 0,02 = 0,98.

По формуле Байеса (4.45) находим:

Р (Нг) Р (B/Hi)

Р (HilВ) =

2 Р (Hi) Р {В!Hi) i=i

0,05-0,94

0,05-0,94+ 0,21-0,82+ 0,48-0,44+ 0,21-0,84+ 0,05-0,98

0,05-0,94 = 0,072;

Для проверки правильности вычислений удобно воспользоваться

5

свойством 2 ^ ( В Д = 1.

( = 1

105

Пример 25. Вероятность того, что изделие удовлетворяет стандарту, равна 0,96. Проводится упрощенный контроль, в результате которого стандартное изделие пропускается в продукцию с вероятностью 0,98, а нестандартное с вероятностью 0,05.

Какова вероятность, что изделие, дважды выдержавшее упрощен­ ный контроль, удовлетворяет стандарту.

Р е ш е н и е . Пусть Нг обозначает, что изделие стандартное, а Н2 •— бракованное, — изделие признано стандартным при первом упрощенном контроле, В2 —•изделие признано стандартным при вто­ ром упрощенном контроле, В — изделие дважды признано стандарт­ ным. Событие В происходит при одновременном осуществлении собы­ тий Вг и В2, т. е. В — ВгВ2. По условию задачи вероятность признать изделие стандартным при упрощенном контроле не зависит от того, подвергалось ли изделие контролю до этого, а зависит только от того, каким (стандартным или бракованным) является изделие в действи­

Р (BJHJ = Р (В2/Я х) = Р (BJBJPJ = 0,98;

Р (BJH%) = Р (В21Н2) = Р (B2/B i# 2) = 0,05.

По теореме умножения вероятностей для независимых событий находим:

Р (B/HJ = Р ( B M H J = Р (BJHx) Р ( А д а = (0,98)2;

Р (В/Я2) = Р (ВхВ^Я*) = Р (BJH2) Р (В2/Я 2) = (0,05)2.

Применяя формулу Байеса (4.45), находим, что изделие, выдержав­ шее двухкратное испытание, будет стандартным с вероятностью:

5.1. Понятие случайной величины

При изучении явлений, подчиненных вероятностным закономер­ ностям, часто интересуются количественными характеристиками, изменяющимися в зависимости от результатов опыта. Такими ха­ рактеристиками являются, например:

1)размер выигрыша по билету книжной лотереи;

2)сумма очков, выпавших при двух бросаниях игральной кости;

3)число успешных испытаний (испытаний, в которых произо­ шло событие А) в данной серии п опытов;

4)диаметры болта и гайки, поступивших на сборку;

5)ошибка при измерении расстояния между двумя пунктами;

6)координаты центра разрыва снаряда;

7)скорость перемещения частицы примеси в водоеме в фикси­ рованный момент времени;

8)время безотказной работы телевизора;

9)число вызовов, поступивших от абонентов на телефонную станцию в течение определенного промежутка времени.

106

Несмотря на разнообразие приведенных в качестве примера ве­ личин, все они обладают одним общим свойством: в результате опыта (т. е. в результате выполнения определенного комплекса ус­ ловий) каждая из перечисленных величин может принимать раз­ личные значения с теми или иными вероятностями. Такие величины называют случайными.

Определение 1. Случайной величиной называется величина, ко­

торая в данных условиях может принимать различные значения с соответствующими вероятностями.

Поскольку различные возможные значения случайные величины принимают, в общем случае, с различными вероятностями, то для того, чтобы изучать случайную величину, мало знать ее возможные значения, нужно еще знать, с какими вероятностями эти значения появляются.

Определение 2. Любое соотношение, устанавливающее связь ме­

жду всеми возможными значениями случайной величины и их вероят­ ностями, называется законом распределения (вероятностным рас­ пределением) случайной величины.

Чтобы задать случайную величину, нужно указать ее закон рас­ пределения.

Как видно из приведенных выше примеров, случайные величины могут быть как скалярными, так и векторными. Мы сначала под­ робно рассмотрим скалярные величины, возможными значениями которых являются вещественные числа. Будем обозначать такие случайные величины малыми греческими буквами |, 4’, Л и т. д.,

аих возможные значения малыми латинскими буквами х, у, z и т. д,

Взависимости от вида множества возможных значений выделяют два основных типа случайных величин; дискретные и непрерывные.

Дискретная величина принимает отдельные изолированные зна­ чения. Каждое из ее возможных значений л: обладает окрестностью, не содержащей других возможных значений этой величины. Все возможные значения дискретной случайной величины могут быть перенумерованы:

•• •> хп, .

Среди перечисленных случайных величин дискретными будут: 1) размер выигрыша по билету книжной лотереи; возможные

значения: 50 коп.; 1, 3, 5, 10 руб.

2) сумма очков, выпавших при двух бросаниях игральной ко­ сти; множество возможных значений состоит из всех целых чисел от 3 до 18;

3)число успешных испытаний в серии из п опытов; множество возможных значений состоит из целых чисел от 0 до п: 0; 1; 2; . . . ;

п\

4)число вызовов, поступивших от абонентов на телефонную станцию в течение определенного промежутка времени; множество возможных значений состоит из всех неотрицательных целых чи­ сел: 0; 1; 2; . . .

107

Замечание. В этом случае, так же как и в случаях 5 и 8, несколько идеа­ лизируется описание опыта, так как допускаются сколь угодно боль­ шие значения случайной величины. Допущенная идеализация обычно компенсируется подходящим выбором закона распределения, в соот­ ветствии с которым слишком большие (слишком малые) значения слу­ чайная величина принимает с очень малыми или равными нулю веро­ ятностями.

Возможные значения непрерывной случайной величины це­ ликом заполняют некоторый промежуток числовой оси, который может быть конечным или бесконечным.

Непрерывными случайными величинами являются:

1)диаметр болта, поступившего на сборку; множество возмож­ ных значений заполняет некоторый интервал [а, Ь], определяемый допусками;

2)ошибка при измерении расстояния между двумя пунктами; множество возможных значений состоит из всех вещественных чи­

ных значений является промежуток [ 0 , + о о ) .

5.2. Ряд распределения

Закон распределения дискретной случайной величины можно задать, указав вероятность каждого из возможных значений слу­

чайной величины.

Определение. Функция, ставящая в соответствие каждому воз­

можному значению дискретной случайной величины его вероятность называется рядом распределения.

Ряд распределения может быть задан либо аналитически форму­ лой

либо таблично (см. пример 1), при этом, в верхней строке таблицы указываются возможные значения случайной величины, в нижней— их вероятности.

Для наглядности иногда строится график ряда распределения. Наносятся точки, абсциссами которых являются возможные значе­ ния хтслучайной величины £, а ординатами — их вероятности рт (рис. 45). Соседние точки соединяют отрезками прямых. Получен­ ную таким образом ломаную называют многоугольником распреде­ ления.

Иногда для наглядности используется «механическая» анало­ гия. При этом закону распределения дискретной случайной вели­ чины сопоставляется распределение единицы массы по точкам оси абсцисс таким образом, что точка хтимеет массу рт.

Заметим, что события £ = хт при различных т попарно не­ совместны, а их сумма (т. е. событие, состоящее в том, что случай­ ная величина примет одно из своих возможных значений) есть со­

108

бытие достоверное. Поэтому сумма вероятностей всех возможных значений дискретной случайной величины равна единице:

Если дискретная случайная величина может принимать только конечное число значений, то слева в (5.2) стоит обычная сумма, если бесконечное, то левая часть равенства является сходящимся рядом, сумма которого равна 1.

Пример 1. Сумма очков т при двух бросаниях симметричной играль­ ной кости является случайной величиной, ряд распределения кото­ рой можно описать следующим образом:

числяются на основе классического определения вероятности, как в примере 11 гл. 4, где была вы­ числена вероятность р4 = Р (|=

= 4).

Нетрудно проверить, что сумма всех вероятностей, стоя­ щих во второй строке равна 1.

Биноминальное распределение.

Число успехов т в серии из п опытов задается (см. 4.38) рядом распределения:

Р=т) = CnPmqn~m, (5.3)

где р — вероятность успеха (появления события А) в одном опыте, <7 = 1 — р; т = 0, 1, 2, . . . , п.

Распределение, определяемое формулой (5.3), называется би­ номинальным, поскольку вероятности Р (£ = т) совпадают с коэф­

т. е. свойство (5.2) выполнено.

Распределение П уассона. Закон распределения дискретной слу­ чайной величины, ряд распределения которой определяется фор­ мулой

109