Файл: Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие.pdf

Точно также попарно независимы события Л и С, В и С. В то же время

Р (Л/ВС) = 1 ф Р (Л) = -^-. События Л, В и С попарно независимы,

но являются зависимыми в совокупности. Для вычисления вероятно­

Аналогичный смысл имеет понятие взаимной независимости ряда опытов. Говорят, что опыты из рассматриваемой совокупности опы­ тов независимы, если вероятности событий в каждом из этих опытов сохраняют одни и те же постоянные значения вне зависимости от того, какие события осуществились в любых других опытах этой совокупности. При этом формула (4.34) остается верной и в тех слу­ чаях, когда входящие в нее события At представляют возможные исходы различных независимых опытов.

Пример 20 (продолжение примера 11). Первое и второе бросание играль­ ного кубика можно рассматривать как два самостоятельных опыта или как один опыт, в котором совершается двухкратное бросание. В первом случае событие Л2 — при двух бросаниях игрального ку­ бика второй раз выпало не более трех очков — следует рассматривать как событие поля, соответствующего опыту, в котором наблюдается только число очков, выпавших при втором бросании, во втором — как событие поля, соответствующего опыту, в котором наблюдаются

не более трех очков — благоприятствуют события, изображенные клет­ ками, лежащими выше линии ab. Число этих событий т (ЛД = 18. Из них те 9, что находятся в квадрате aecf, благоприятствуют одновре­

то события Л 2 и независимы: информация о том, что при первом бросании выпало не более трех очков, не изменяет вероятности выпа-

100

дения не более трех очков при втором бросании. Точно также можно показать, что вероятность выпадения любого числа очков при втором бросании не зависит от числа очков, выпавших при первом бросании, и наоборот.

Таким образом, первое и второе бросание игрального кубика яв­ ляются независимыми опытами.

Пример 21. (продолжение примеров 12 и 17). Выбор первым и вторым студентом экзаменационных билетов можно рассматривать как два последовательно проводимых опыта. Тогда А — выбор счастливого билета в первом опыте, В — выбор счастливого билета во втором опыте.

Поскольку Р (А) = — ф Р (А/В) = — , то эти опыты зависимые.

56

4.11.Последовательность независимых одинаковых опытов

(схема Бернулли)

Схема Бернулли. В практических и теоретических задачах тео­ рии вероятностей часто приходится исследовать серии (последова­ тельности) опытов. Простейшей схемой таких опытов является схема Бернулли, в которой все рассматриваемые опыты независимы и одинаковы. Более точно, говорят, что проводится п опытов по схеме Бернулли, если в каждом из опытов может произойти собы­ тие А с постоянной, не зависящей ни от номера опыта, ни от резуль­ татов других опытов, вероятностью Р (А) = р.

Если в результате опыта событие А не происходит, то осущест­ вляется противоположное событие А с вероятностью

Рассмотрим событие Втп, заключающееся в том, что в п опытах, проведенных по схеме Бернулли, событие А осуществится ровно т раз. Индекс т, очевидно, может принимать любые значения от О до п: т = 0, 1, 2, . . . , п. В двух крайних случаях т = 0 и т = п вероятности событий Втп вычисляются особенно легко. В самом деле, событие Впп осуществляется, если во всех опытах происходит событие А. Обозначим через А, событие, состоящее в том, что в t-м опыте происходит событие А. Тогда

симы, то для вычисления Р (Впп) можно воспользоваться форму­

Аналогично В0п осуществляется тогда, когда событие Л не про­ исходит ни в одном опыте:

Воп ~ AiA2 . . . Ап,

откуда

• . Л„) = Р (Л 1)Р (Л 2) . . . Р ( А п) = д\ (4.37)

101

робно пример вычисления Р (В23).

Событие Вад означает, что событие А произошло в двух из трех опытов, что может осуществиться С\ = 3, исключающими друг друга способами: либо событие А пооизойдет в первых двух опытах,

а в третьем не произойдет (т. е. осуществится сооытие Л 1Л 2Л3), либо событие Л произойдет в первом и последнем опыте, а во втором

не произойдет (осуществится событие ЛхЛ2Л3), либо Л произой­ дет в последних двух опытах, а в первом не произойдет (осущест­

вится А гА 2А3). Таким образом, В23 можно представить в виде суммы несовместных событий

В23 = Л]Л2Л3+ AiA2A3-\- Л]Л2Лз.

Ввиду независимости опытов вероятность каждого из событий

Так как вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей, то

Р (В^з) — Р (ЛхЛ2Л3+ ЛхЛ2Л3 ЛХЛ2Лз) —

= Р (ЛхЛ2Л 3) + Р (Лх^42Л 3) -f- Р (ЛхЛ2Л 3) = 3p2q = Ctp2q{,

В общем случае событие Втп можно представить в виде суммы несовместных событий, каждое из которых означает осуществление события Л в опытах с т выбранными номерами П, Н, ■■■. tm, и не осуществление события Л в остальных (п—т) опытах.

Вероятности всех таких событий одинаковы (не зависят от того, какие номера выбраны, а зависят только от числа номеров т) и

равны pmqn~m. Число этих событий равно числу способов, кото­ рыми можно выбрать комбинации т номеров, отличающихся хотя

бы одним номером, из п номеров, т. е. равно С„- Рассуждая так же, как и выше, получим:

т\ (п — т)\

Число т часто называют числом успехов в последовательности п опытов, а р — вероятностью успеха. Формула (4.38) позволяет вычислить вероятность т успехов в п опытах. Формулы (4.36) и (4.37) получаются как частные случаи (4.38), если считать, что О! = 1.

102

Пример 22. В лаборатории работает пять приборов. Вероятность того, что прибор в течение недели потребует настройки, не зависит от со­ стояния других приборов и равна 0,4. Определить вероятность того, что в течение недели потребуют настройки не более двух приборов (событие D).

Р е ш е н и е . Работу приборов можно в силу условий задачи рассматривать как пять независимых одинаковых опытов. Вероятность настройки одного прибора (обозначим это событие А)Р (А) = р = 0,4. Соответственно, q = 0,6. Событие D является суммой трех событий: Воъ — не потребовал настройки ни один из пяти приборов; В1Ъ— по­ требовал настройки один и В25 — два из пяти приборов. По формуле

(4.38) находим:

Р (Воъ) = (0,6)5 и о,078;

Р (В15) = С^-0,4 (0,6)4 и 0,259;

Р (В2.) = С|? (0,4)2-(0,6)3 « 0,346.

Таким образом,

Р (D) = Р (Bos + Blt + В26) = Р (В05) + Р (B1S) + Р (В26) =

=0,078 + 0,259 + 0,346 = 0,683.

4.12.Формула полной вероятности и формула Байеса

бытие В можно представить в виде суммы попарно несовместных событий ВНг, ВН2, . . . , ВНп:

Это равенство следует из (4.6), (4.10) и означает, что в каждом опыте, где происходит событие В, обязательно происходит, хотя бы одно из событий Hlt Я 2, . . . , Нп (так как В частный случай

” \

события .U Ht I. Вместе с В в каждом опыте может происходить

только одно из событий Я (- (так как эти события попарно несов­ местны). Поскольку вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей, имеем:

Вычислим вероятность произведения событий BHt по формуле

(4.28):

Подставляя выражение для Р (ВН{) при всех i = 1, . . . , п из

(4.41) в (4.40), получим:

103

Формула (4.42) называется формулой полной вероятности. По этой формуле, зная для всех i = 1, 2, . . . , п вероятности Р (Я,) событий Нс и условные вероятности Р (В/Н{) события В при усло­ вии, что событие Ht имело место, можно найти полную (безуслов­

2 Р ( Я г)Р(В/Я£) (=1

Эта формула называется формулой Байеса или формулой послеопытных (апостериорных) вероятностей гипотез. Последнее назва­ ние объясняется следующим приложением формулы. Осуществле­ ние события В возможно с одним и только с одним из событий Hiy вероятности которых Р (Яг) оценены до опыта тем или иным путем. Эти вероятности называют доопытными (априорными). Известны также вероятности события В в предположении, что имеет место Я г (при гипотезе Я (). Пусть некоторый наблюдатель не может про­ верить по результатам опыта, какое из событий Нь т. е. какое из предположений (гипотез) в действительности осуществилось. Од­ нако, наблюдая в результате опыта событие В, можно по формуле (4.45) уточнить вероятности этих гипотез. Уточненные таким обра­ зом вероятности Р (HJB) гипотез Я г называются послеопытными (апостериорными).

Пример 23. Имеются три партии радиоламп. Вероятности того, что ра­ диолампа проработает 1000 часов, равны для лампы из первой партии 0,2, из второй — 0,4, из третьей — 0,5. Вероятности того, что лампа принадлежит первой, второй и третьей партии соответственно равны 0,25; 0,30; 0,45. Найти вероятность того, что радиолампа проработает

1000 часов.

Р е ш е н и е . Обозначим Hi событие, состоящее в том, что ра­ диолампа принадлежит i-й партии (г = 1, 2, 3), В — событие, состоя­ щее в том, что радиолампа проработает 1000 часов. По условиям за­ дачи:

104