Файл: Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие.pdf

По закону Пуассона распределены, например, число вызовов абонентов на АТС в течение минуты, число аварий на некотором участке в небольшой промежуток времени, число попаданий в оди­ наковые малые участки при стрельбе по большой площади и т. п.

Проверим выполнение равенства (5.2):

Ряд в скобках сходится и его сумма равна еа, так что

2 Р{1 = т) = е—аеа= к

т —О

5.3. Функция распределения

Втех случаях, когда значения случайной величины сплошь за­ полняют некоторый интервал, вероятность каждого отдельного значения случайной величины, как отмечалось выше (см. геометри­ ческое определение вероятности), может быть равна нулю. Зада­ вать закон распределения такой случайной величины в виде ряда распределения нельзя. Поэтому часто закон распределения задают, указывая не вероятность каждого отдельного значения случайной величины, а вероятность того, что случайная величина примет зна­ чение, меньше заданного числа х, т. е. Р ( £ 0 ) . Очевидно, эта ве­ роятность является функцией х. Ее называют функцией распреде­ ления.

Определение. Функцией распределения F (х) случайной величины

называется функция переменной х, определенная на всей числовой оси и равная вероятности того, что случайная величина 5 примет значение меньшее, чем аргумент этой функции:

Закон распределения в виде функции распределения может быть задан для любых случайных величин, как дискретных, так и не­ прерывных. Функцию распределения дискретной случайной ве­ личины можно вычислить, если известен ряд распределения:

Суммирование в формуле. (5.6) производится по всем т, для ко­ торых хт<^х, т. е. суммируются вероятности тех значений дискрет­ ной случайной величины, которые меньше аргумента функции рас­ пределения.

Зная функцию распределения F (х) случайной величины £ можно вычислить вероятность того, что эта случайная величина принимает

ПО

Из этого свойства следует, что

Свойство 3. Если в точке xQфункция распределения F (х) слу­ чайной величины \ непрерывна, то вероятность принять значение

х0 для случайной величины £ равна нулю-.

Р{ 1 = х 0) = 0.

До к а з а т е л ь с т в о . Действительно, так как вероятность любого события неотрицательна и событие {£ = х0) является част­ ным случаем события )х0< К ^ 0 + Ах} можно, принимая во вни­ мание (4.17), написать неравенства

0 < Р ( £ = х 0) < Р ( х о< £ < х о+ Ах),

справедливые при любом Д х >0 . В силу (5.7)

Р (х0< 1 < х 0+ Ах) —F (х0-|-Ах) — Р(х0).

Устремим Дх к нулю. Ввиду непрерывности F (х) в точке х0, бесконечно малому приращенрю аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е.

Нт ДР = 0.

л*-о

Переменные 0 и ДF, стоящие в правой и левой частях неравен­ ства (5.13), стремятся к 0, т. е. к одному и тому же пределу, следо­ вательно и переменная, заключенная между ними, стремится к тому же пределу:*

lim Р (I = х 0) —0.

Л*-*-0

Вместе с тем величина Р (£ = х0) от Дх це зависит и, следова­ тельно, при изменении Дх остается постоянной. Поэтому

lim Р (£ = х 0) = Р ( 1 = х0).

Ах-*0

Таким образом, Р (| = х0) = 0, что и требовалось доказать.

Замечание. Из равенства нулю вероятности события {£ = х0} вовсе не следует, что это событие невозможное. Действительно, пусть функция распределения непрерывна и строго возрастает на промежутке [а, Ь). По свойству 3 вероятность каждого отдельного значения из этого про­ межутка равна 0. В то же время вероятность того, что реализуется хотя бы одно из значений х, принадлежащих промежутку, положи­ тельна, так как по формуле (5.7)

Р (а < £ < Ь) — F (Ь) — F (а) > 0 при b > а.

Свойство 4. Вероятность попадания значений случайной вели­ чины в некоторый промежуток не изменится, если к этому проме­

* См. [1], § 5.5, теорема 1, стр. 142.

112

Р(а<|<Р) =Р(а<КР).

Р(а < Е < Р ) = Р ( а < £ < Р ) + Р (| = Р ).

В силу непрерывности F (х) в точке |3 и свойства 3 второе сла­ гаемое в правой части последнего равенства равно 0, откуда и сле­ дует доказываемое неравенство.

Принимая во внимание (5.7), аналогичным образом можно по­ казать, что, если F (х) непрерывна в точках а и |3, то

P K k p ) = P K U P ) =

= Р ( а < £ < Р ) = Р(Р)— F(a). (5.14)

Показательный закон распре­ деления. Время т безотказной

______

0,5 -

Р и с . 47

работы приборов (телевизоров, электроламп и т. п.) есть случайная величина, функция распределения которой имеет вид:

| 0 для ^<0,

(5.15)

1 1 — ё~и для t > 0.

Про случайную величину т, функция распределения которой задается соотношением (5.15), говорят, что она имеет показатель­ ное распределение или что она распределена по показательному закону.

Нетрудно видеть, что F (— оо) = 0, F (+ со) = 1. Эта функция непрерывна везде, так что вероятность каждого отдельного значе­ ния случайной величины, распределенной по показательному за­ кону, равна нулю. График функции распределения F (t) для пока­ зательного закона показан на рис. 46.

Функция распределения дискретной случайной величины. Если возможные значения дискретной величины перенумерованы в по-