Файл: Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие.pdf

Правило трех а. Вычислим вероятность выполнения неравенства |£ — т\>>3а. С этой целью найдем вероятность противополож­ ного события |£—т { > З о.

Р(\Ъ— яг|<За) = 2Ф (3) — 1.

По табл. I приложения находим Ф (3) = 0,9986; откуда

Р ( 11— т |-< За) = 0,9972.

Воспользовавшись тем, что сумма вероятностей противополож­ ных событий равна единице, находим:

Р ( | т |>3<т) = 1 — Р ( 11—т |< 3о) = 0,0028.

Таким образом, вероятность значений случайной величины, отличающихся от т больше, чем на За, очень мала. Этот факт исполь­ зуют при грубой оценке параметров нормального закона по пра­ вилу, которое называется правилом За. Состоит оно в следующем. Пусть в результате я опытов наблюдаются значения случайной ве­

ляется осью симметрии кривой распределения нормального закона):

5.6. Многомерные случайные величины (случайные векторы)

Системы случайных величин. При изучении некоторых явлений необходимо одновременно рассматривать несколько случайных ве­ личин, например: а) размеры детали и заготовки; б) диаметры по­ ступивших на сборку болта и гайки; в) абсциссу и ординату точки разрыва снаряда; г) проекции на координатные оси скорости ча­ стицы примеси, распространяющейся в водоеме; д) частоту и ам­ плитуду сигнала в приемнике, и т. п.

Известно, что упорядоченный набор п чисел можно рассматри­ вать как координаты n-мерного вектора или координаты точки в я-мерном пространстве. Поэтому о системе случайных величин (Ij, |2, . . . , §„) удобно говорить как о координатах случайного вектора г или случайной точки М.

Совместная функция распределения. Закон распределения я- мерного случайного вектора (т. е. соотношение, связывающее его

120

возможные значения с их вероятностями) может быть задан функ­ цией:

или совместной функцией распределения координат случайного вектора г (точки М). Значение этой функции в точке (хг, х 2, . . . , хп) равно вероятности одновременного выполнения п неравенств:

В дальнейшем, для упрощения изложения, будем говорить только о системе двух случайных величин (с, г]), которую можно рассматривать либо как случайный вектор г (|, г|), либо как слу-

Р и с. 54

чайную точку М (%, г]) плоскости. Однако все, о чем будет гово­ риться, легко может быть переформулировано на случай произволь­ ного п.

Совместная функция распределения системы двух случайных

Значение функции распределения в точке N (х, у) равно веро­ ятности того, что случайная точка М (£, г]) в результате испытания окажется на плоскости левее и ниже точки N (х, у), т. е. в заштри­ хованной части плоскости (рис. 53).

С помощью функции распределения можно вычислить вероят­

можно представить в виде суммы событий:

А = { х У 1 < Ц < У 2 } ‘, В = { 1 < х1; т]< //2} и С = { 1 < х 2\ г)<ух}.

121

чрое— наклонными). Поэтому

F(x2, у2) = Р ( А + В + С) = Р(А) + Р (В +С ) =

= Р [х1К 1 < х 2] г/1< т]< г/2} + Р ( В + С),

откуда

У1 <и\<У*} = Р(хл, У2)— Р(В + С). (5.38)

Для нахождения вероятности суммы событий А и С применим общую теорему сложения вероятностей:

Р (В + С) = Р (В) + Р (С) — Р (ВС).

Замечая, что ВС = {^ < х 1; г|<Сг/х}, находим:

Подставляя найденное выражение в (5.38), окончательно полу­

Нетрудно проверить, что если существует непрерывная смешан­ ная частная производная второго порядка от совместной функции распределения

где двойной интеграл берется по прямоугольнику N^N^L, (рис. 54). Действительно, Вычислим интеграл в правой части (5.41), ин­

тегрируя сначала по у, а затем по х

xl щ

Подставим вместо функции f (x, у) ее выражение из (5.40). Вы­ числим внутренний интеграл

у%

122

то подставляя (5.44) в (5.43) и сравнив результат с (5.39), убеж­ даемся в справедливости (5.41).

Функция f (х, у), определяемая формулой (5.40), называется плотностью вероятности случайного вектора г (|, т)) или совмест­ ной плотностью вероятности случайных величин \ и тр Закон рас­ пределения случайного вектора (точки, системы случайных вели­ чин) может быть задан совместной плотностью вероятности. Зная плотность вероятности f (х, у), можно вычислить вероятность по­ падания случайной точки М (£, р) в любую область плоскости D. Действительно, пусть f (х, у) непрерывна в области D. Тогда из (5.41) и теоремы о среднем для двойного интеграла следует, что с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем

Отметим некоторые свойства совместной функции распределе­ ния и совместной плотности вероятности системы случайных ве­ личин:

1. Совместная функция распределения является неубывающей функцией по каждому аргументу:

F (х1 , y)^CF(x2, у) при д С х а

и

F(x, yi)<F(x, у2) при д < г / 2.

123