Файл: Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие.pdf

2. Совместная плотность вероятности неотрицательна: f (х, у) + 0

Двумерный нормальный закон. Говорят, что случайный вектор г (|, tj) распределен по двумерному нормальному закону, если сов­ местная плотность вероятности его координат Л определяется формулой

__ i_ Г(*-а)а—2k (х—а) (у—Ь) + (.у—Ь)а

2 (1- Щ

где а, Ь, а ь а 2, k — постоянные параметры.

Многомерный закон равномерной плотности. Совместная плот­ ность вероятности двух случайных величин (|, т]), распределенных по закону равномерной плотности, определяется формулой

f(x, у) = 1 Sd >если

{ 0, если (х, у) £ D,

где 8' D — площадь области D.

Если случайный вектор г (|, г]) распределен по закону равно­ мерной плотности, то вероятности событий {(|, т]) + А }, где AdD могут быть найдены из геометрического определения вероятностей.

Дискретные многомерные случайные величины. Если коорди­

распределения такого случайного вектора можно задать, указав вероятность рц для каждого возможного значения Тц, т. е.

Такой закон распределения может быть задан, например, табли­ цей с двумя входами:

124

На пересечении г-й строки и /-го столбца записывается вероят­ ность р1}того, что случайный вектор примет значение ги. Возможно, что некоторые из вероятностей рц окажутся равными нулю. Это означает, что одновременно два равенства | = xt и ц = г/у не могут осуществиться. Очевидно, также, что

pm п

£=1 /= 1

так как вектор г достоверно примет одно из своих возможных зна­ чений. :

5.7. Частные и условные законы распределения координат случайного вектора. Независимость случайных величин

Связь между законами распределения координат случайного вектора и их совместным законом распределения. Зная закон рас­ пределения случайного вектора (системы случайных величин), можно найти вероятность распределения каждой его координаты. Если закон распределения координаты случайного вектора опреде­ ляет вероятности ее значений без каких-либо дополнительных пред­ положений о значении другой координаты, он называется частным законом распределения. В тех случаях, когда закон распределе­ ния определяет вероятность значений одной координаты в пред­ положении, что другая координата принимает то или иное опре­ деленное значение, он называется условным законом распреде­ ления.

125

Покажем сначала, как находятся частный и условный законы распределения координаты по совместному закону распределения в случае, когда координаты случайного вектора принимают дискрет­ ные значения. Обозначим р\ — Р (g = х;), p"t = Р (р =y.'j . Обо­

значим через В событие + = yj) и через Hi событие {£, = хг-} и замечая, что BHt = {£ = xh р = z/y), найдем по формуле полной вероятности (4.42) вероятность события В:

/=i

Воспользовавшись формулой Байеса, найдем условную вероят­ ность события {£ = х,} при условии, что произошло событие {т] =

Частные функции распределения и частные плотности вероят­ ности координат случайного вектора. Пусть теперь закон распреде­ ления случайного вектора г (£, ц) задан совместной плотностью ве­ роятности f (х, у). Выразим через / (х, у) функции распределения Ft (х), F2 (у) и плотности вероятности / х (х), / 2 (у) частных законов распределения случайных величин § и т). По определению (см. § 5.3) функция распределения F± (х) случайной величины £ равна веро­ ятности события (| < х ), которое в случае двумерной случайной величины (£, т]) геометрически означает попадание случайной точки М (£, т]) в полуплоскость D, лежащую левее прямой LN (рис. 55):

Fi ( x) = P ( l < x ) = P((l, t])£D).

126

Плотность вероятности случайной величины £ равна производ­ ной от ее функции распределения. Поэтому

Производная от определенного интеграла с переменным верхним пределом х по х равна подинтегральной функции,* ввиду чего по­ лучаем:

— ОС

Таким же образом находятся частная функция распределения Р 2 (у) и частная плотность вероятности / 2 (у) случайной величины тр

Р+00

Fa(y)= J dy j f(x, у) dx\

— OO — OO

(5.58) h( y )= + Jo o fix, y) dx. (5.59)

- —CO

Принимая во внимание (5.47), из, соотношений (5.56) и (5.58) можно получить формулы, вы­ ражающие частные функции распределения случайных вели­ чин через их совместную функ­ цию распределения:

F1(x) = F(x, + со);

FAy) = F ( + оо, у). (5.60)

Условные законы распределения. Предполагая, что совместная плотность вероятности f (х, у) непрерывна по обеим переменным, установим связь между этой функцией и условными законами рас­ пределения случайных величин \ и г]. С этой целью рассмотрим со­ бытия А = { £ < х } и В = {у < Т1 <г/+Дг/}. Геометрически собы­ тие Л означает попадание случайной точки М (£, rj) левее прямой LN (на рис. 55, соответствующая полуплоскость заштрихована косыми линиями). Событие В состоит в попадании случайной точки М (£, г]) в полосу шириной А, расположенную между прямыми KR и ST, или на прямую ST (на рисунке соответствующая область заштри­ хована вертикальными линиями). Событие АВ заключается в по­ падании точки М в общую часть этих областей.

Зная f (х, у), вероятности событий А и АВ, можно вычислить по формуле (5.46). Найдем вероятность события В:

127

Двойной интеграл вычисляется по полосе, расположенной ме­ жду прямыми КR и ST. Интегрируя сначала по у, а затем по х, преобразуем это выражение следующим образом:

—ОО Уо

Применяя теорему о среднем к внутреннему интегралу, получим:

Рассуждая так же, как выше, можно преобразовать это выра­ жение к виду

Р{А1В) = РЦ < х 1 у < т [< у + Ьу) = ? Ш - .

Р (а)

Следовательно, ввиду (5.64) и (5.65)

128

Очевидно, эта вероятность является функцией трех переменных: x, у и А.у (от Ау зависят а и |3). Предел этой функции при Ау -^0 называется условной функцией распределения случайной величины

J / (х, у) dx

—00

Производная по переменной х условной функции распределения F1 (х/у) случайной величины £ называется у с л о в н о й п л о т ­ н о с т ь ю в е р о я т н о с т и с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы | при условии, что случайная величина ^ равна у. Условная плот­ ность вероятности обозначается h (х/у). Дифференцируя (5.67) по х (в правой части от х зависит только верхний предел интеграла, стоящего в числителе) находим:

ной величины г] при условии, что случайная величина | приняла значение, равное х. Можно показать, что эти функции выражаются через совместную плотность вероятности по формулам:

у

f f(x, y)dy

129