Файл: Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 85

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Непосредственно из (5.69) и (5.71) можно выразить совместную плотность вероятности через частную и условную плотности веро­ ятности:

fix, y) = fi{x)f{ylx) = f2(y)f(xly).

(5.72)

Формулу (5.72) иногда называют теоремой умножения законов распределения. Эта теорема для непрерывных случайных величин выполняет такую же роль, как теорема умножения вероятностей для событий.

Чтобы уяснить связь между этими теоремами, умножим соотно­

шение (5.72) на ЛхДу и положим х =

х0, у = у0. Рассмотрим пра­

вую и левую части получившегося при этом равенства:

 

 

 

Цх0,

Уо) кхАу = /2 (у0)f (х0/у0) АхАу.

 

 

(5.73)

Как следует из вывода формулы (5.46), левая часть (5.73) при­

ближенно равна вероятности события

{х0< § < х 0 +

Ах;

у0 <т]

<

 

< у 0 +

Ау),

которое

означает

по­

 

падание

 

случайной

точки

М (g, т))

 

в квадрат SKNL (рис. 56). Точнее

 

 

Р (х0

 

х0 -f- Ах;

 

у 0 -С т]

у0) +

 

+ Az/ =

/ (х0,

у0) АхАу-\- аАхАу,

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.74)

 

где а ->0

при

Ах

0,

Ау -> 0.

 

 

 

В то же время (см. (5.19))

про­

равно вероятности

изведение

f2 (у0) Ау

приближенно

события В = {у0 <т] < у 0 +

Ау), которое

за­

ключается в попадании случайной точки УИ (£, т]) в полосу, заклю­ ченную между прямыми у = у0 и у = у0 + Ау.

 

 

P{B) = h{y0)Ay + $Ay,

 

 

 

(5.75)

где П т

Ар = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

Д</^0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим также событие А , заключающееся в попадании слу­

чайной точки М (I, т)) в полосу между прямыми х =

х0 и х =

х0+ А х;

А = {х0< \ < х 0 +

Ах}. Можно

показать, что

условная

ве­

роятность Р (AIB)

события А,

при

условии,

что

произо­

шло событие В (т.

е. вероятность

попадания

случайной точки

М (£, г|) в полосу между прямыми х = х0 и х =

х0 +

Ах при ус­

ловии,

что она попала в полосу между

прямыми у =

у0 и

у =

= Уо +

&У, равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р {A/B) = fx(x0ly0) A x-fyA x,

 

 

 

(5.76)

где lim

у = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

д*-»е

 

 

 

 

 

 

 

 

130


Из (5.74), (5.75) и (5.76) следует, что с точностью до бесконечно малых более высокого порядка малости, чем АхАу соотношение (5.73) равносильно соотношению

Р (АВ) — Р (В) Р (А/В),

которое следует из теоремы умножения вероятностей.

Таким же образом можно показать, что формулы (5.57) и (5.59) аналогичны формуле полной вероятности, а формулы (5.69) и (5.71) аналогичны формуле Байеса.

Независимость случайных величин. Случайная величина £ назы­ вается независимой от случайной величины г), если информация о том, какое значение приняла случайная величина г) не изменяет за­ кона распределения случайной величины

Если совместный закон распределения (|, р) задан плотностью то независимость £ от р означает равенство условной и частной плотностей вероятности:

fixity) = fi (х).

(5.77)

Из (5.72) и (5.77) следует, что свойство независимости случайных

величин взаимно, и для того, чтобы они были независимы,

необхо­

димо и достаточно, чтобы

 

fix, y) = fiix)hiy)

(5.78)

совместная плотность вероятности равнялась произведению част­ ных плотностей вероятностей.

Пусть случайные

величины независимы. Подставляя f (х, у)

из (5.78) в (5.47), находим, что

Р{х,

У) = J

dx | /у (х) / 2 iy) dy.

 

— СО

— 0 0

Множитель /у (х) от у не зависит, поэтому его можно вынести за знак внутреннего интеграла:

F (х, у ) = ]

h (х) dx | /2 iy) dy.

— 0 0

— ОО

В последнем выражении внутренний интеграл является множи­ телем подинтегрального выражения внешнего интеграла. Так как этот множитель от х не зависит, его можно вынести за знак интег­ рала:

F (х, у) — ( f

/2 (У) dy\ J fi (х) dx.

\—00

/ —ОО

Принимая во внимание (5.22), получаем окончательно:

F (х, у) = Fx (х) F2 iy),

т. е. совместная функция распределения независимых случайных величин равна произведению их частных функций распределения.

131


Кроме того, из (5.67), (5.70), (5.72) и (5.22), (5.20) следует, что для независимых случайных величин

Fi (х/у) = Fx (х); F2 (у/х) = F2 (у).

Выше показано что, зная совместный закон распределения слу­ чайных величин (I, ri), можно найти закон распределения каждой из них. Обратно, восстановить совместный закон распределения по частным распределениям случайных величин можно только для независимых случайных величин. Если же случайные величины зависимы, то чтобы восстановить совместное распределение двух случайных величин, нужно знать частное распределение одной из них и все условные распределения другой.

Частные и условные законы распределения координат случай­ ного вектора, распределенного по двумерному нормальному закону. Совместная плотность вероятности двумерного нормального закона определяется формулой (5.50):

1

( х - а )*

пи (х—а) { У — Ь )

,

(у-Ь У

2 (1—к2)

О

~ ~

"*

О

/ С*. У)

2яст1аа У 1k2

При k — 0 это выражение приобретает вид:

 

(Х - C ) 2 , ( У - Ь Г

 

--------п

-------- 1-----------

п ----

fix, у)- 2ne1as

 

 

(д-ьу

(х—а)‘2

 

 

~—= —е 2о?

_

- е

2о;2 .

У 2лCTj

У 2л аг

 

Следовательно, при k = 0 совместную плотность вероятности можно представить в виде произведения двух сомножителей, один из которых является функцией только х, другой — функцией только у.

 

_

fix,

y)=fi(x)f»(y),

_ (У-Ь)3

Л/ .

20?

. . .

1

1

20?

где А (*)= -—

. е

1 ;

/2 (у)

У 2я а2

 

У

 

 

 

Таким образом,

в случае k =

0, координаты £ и т) случайного

вектора, распределенного по нормальному закону, независимы, причем, как следует из (5.26), законы распределения координат |, г) также являются нормальными.

Найдем частные и условные законы распределения координат в случае k =/=0. Чтобы найти частную плотность вероятности (х)

132


координаты | в соответствии

с

(5.57)

проинтегрируем

(5.50) по у:

 

 

 

+0 0

1

( х - а )2 _ 2k

(х—а) (t/-Ь)

( у - Ь у

h (*)

 

 

2 (1—ft2)

 

 

 

dy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_оо

 

 

 

 

 

 

2na1a2V 1— й

 

 

 

 

 

 

Заменой переменной интегрирования по формуле

 

 

ti=

аха2V l—k2[Oiiy— Ь) ko2{x—а)]

 

это выражение преобразуется к виду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(х—а)2 + о о

JL

 

 

 

 

fi(x) = - l — e

2а,

е

 

 

 

 

2 dt.

 

 

 

 

 

2ла.

 

 

 

 

 

Так как интеграл в правой части

равен У 2п, то

 

 

 

 

 

 

_ (*-д)а

 

 

 

 

 

h (х) ■-

 

 

2о,

 

 

 

 

 

 

У 2я <jj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично получается

 

 

(у-ьу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ш =

 

 

2с?

 

 

 

 

 

 

У 2л а2

‘ 2 .

 

 

По формуле

(5.69) находим

условную

плотность

вероятности

ft (х/у):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

к(У)

 

 

 

 

 

 

(х—а)2 пи (х—а) (у—Ь) ,

(у—b y

(У-Ь)2

У2п ах У 1 — к2

2 (1—ft2)

с2

 

+

с|

20?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\x-a-k

<,_»)]*2

 

 

 

У2п ахУ 1 — k2

 

2о2 (1-к2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и аналогично,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В—Ь—к ^ (х—а ) ] 2

h (у!х)

f (*. у)

У2я а 2 У 1 — к2

2q2 (l—ft2)

 

fi (У)

 

 

 

 

 

 

 

133