Файл: Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие.pdf

Таким образом, если случайный вектор распределен по нормаль­ ному закону, то его компоненты также распределены по нормаль­

ным законам (5.52) с параметрами а, и by, сг2. Условные рас­ пределения компонент также нормальные с параметрами соответст­

венно: ах— а±|/~1— k2; mx= a-\-k~ {у— Ъ) и ау= а2 ]/" 1 — k2,

Во многих практических задачах не требуется такой полной характеристики случайной величины, которая дается ее законом распределения. Достаточно, и даже более удобно, иметь сжатую, суммарную информацию о случайной величине и законе ее распре­ деления. Например, для подсчета числа машин, необходимых для выполнения определенной работы, достаточно знать только, какую работу в среднем способна выполнить каждая машина. Такую ин­ формацию в сжатом виде содержат числовые характеристики слу­ чайных величин — постоянные числа, полученные по определенным правилам из законов распределения.

Важнейшими числовыми характеристиками случайных величин являются моменты различных порядков, и среди них прежде всего математическое ожидание (среднее значение) и дисперсия случай­ ной величины.

Математическое ожидание. Математическим ожиданием 7W[£] (iсредним значением) дискретной случайной величины £ называется сумма произведений возможных значений х£ случайной величины на их вероятности рр

где суммирование выполняется по всем возможным значениям. Для случайной величины £, закон распределения которой задан

плотностью вероятности f (х), математическое ожидание опреде­ ляется равенством:

Математическое ожидание дает точку числовой оси, вокруг ко­ торой группируются значения случайной величины. В теории ве­ роятностей математическое ожидание играет примерно такую же роль, как центр масс в механике. Действительно, рассмотрим ме­ ханическую аналогию. Пусть единичная масса распределена по п точкам, расположенным на оси Ох, причем в точке с координатой

134

xt сосредоточена масса, равная pt. Координата центра масс такой системы совпадает с М [£]:

%xiPl

i

2 а д -

i i

Дисперсия.Дисперсией D It ] случайной величины % называется математическое ожидание квадрата разности (|—mg):

В силу определения математического ожидания для дискретной случайной величины дисперсия равна:

i

Для непрерывной случайной величины дисперсия равна:

— СО

Дисперсия характеризует разброс значений случайной величины относительно математического ожидания. Чем больше вероятность значений удаленных от математического ожидания, тем больше дис­ персия. Наоборот, чем теснее группируются значения случайной величины вокруг математического ожидания, чем меньше вероят­ ность удаленных значений, тем меньше дисперсия. Механической аналогией дисперсии является момент инерции системы относительно центра масс (центральный момент инерции).

Часто наряду с дисперсией D [£] в качестве меры разброса слу­ чайной величины вокруг среднего значения рассматривают среднее квадратическое отклонение а, определяемое как корень квадратный из дисперсии:

Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и случайная величина §. Заметим, что а иногда называют стан­ дартным отклонением. Механической аналогией а является радиус инерции.

Начальные и центральные моменты. Определение 1. Начальным

моментом mgfe) порядка k случайной величины £, называется мате­ матическое ожидание k-й степени £:

Определение 2. Центрированной случайной величиной £, соответ­

ствующей случайной величине £, называется разность между слу­ чайной величиной \ и ее математическим ожиданием:

135

Определение 3. Центральным моментом ц|,г> порядка k случай­

ной величины | называется математическое ожидание k-й степени центрированной случайной величины, соответствующей

Математическое ожидание является начальным моментом пер­ вого порядка, дисперсия — центральным моментом второго порядка. Третий центральный момент характеризует асимметрию рас­ пределения относительно математического ожидания. Для удоб­

ства в качестве меры асимметрии принимается безразмерная ве-

,(3)

личина и-

черкнуть, что если множество возможных значений случайной ве­ личины бесконечно, то моменты случайной величины, определяемые как математические ожидания формулами вида (5.79) и (5.80), не существуют в тех случаях, когда ряды или несобственные интегралы фигурирующие в формулах, расходятся.

Свойства математического ожидания и дисперсии.

Свойство 1. Неслучайный множитель С можно вынести за знак математического ожидания:

М[С1] = СМ [g].

Действительно, для дискретной случайной величины

м [С|] - S CxiPi= С%xlPi = СМ [|]. i i

Аналогично, для случайной величины, закон распределения которой задан плотностью вероятности,

ЛГ[С£] = J Cxf(x)dx = C J xf(x)dx = CM[t].

Свойство 2. Если g = С с вероятностью 1, ото Л1 [£] = С, от. е.

математическое ожидание не случайной величины равно самой этой величине:

Свойство 3. Математическое ожидание произведения независи­

мых случайных величин \и ц равно произведению их математических ожиданий:

В самом деле, совместная плотность вероятности независимых случайных величин £ и ц равна произведению их частных плотно­

136

Для дискретных случайных величин свойство доказывается ана­

логично.

Свойство 4. Математическое ожидание суммы случайных вели­ чин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

Докажем это свойство для случайных величин, закон распреде­ ления которых задан совместной плотностью вероятности:

— СС — ОО

Так как интеграл от суммы равен сумме интегралов, то

Первый двойной интеграл вычислим, интегрируя сначала по у, а затем по х, второй — интегрируя в обратном порядке. Вынесем при этом за знак внутреннего интеграла множитель, не зависящий от переменной интегрирования. В результате получаем:

Ввиду (5.57) (5.59) внутренний интеграл в первом слагаемом равен частной плотности вероятности f1 (х) случайной величины Е, во втором — частной плотности вероятности f 2 (у) случайной величины т]. Таким образом,

В силу (5.80) последнее равенство равносильно (5.91

Свойство 5. Дисперсия случайной величины равна разности вто­

рого начального момента этой величины и квадрата математиче­ ского ожидания:

Д о к а з а т е л ь с т в о . По определению дисперсии

D [ l ] = M [ { l - M [Е])2] = М [Е2- 2 М Ц] I + (М [Е])2].

Применяя свойство 4, преобразуем последнее выражение к виду

По свойству 1

М [2М [Е] Е] = 2М [Е]М [Е]= 2т\.

По свойству 2

М [{М [Е])2] = (М [Е])2—т|.

137

Наконец, так как

M [t2]=m\,

то подставляя найденные выражения в (5.93) и производя приведе­ ние подобных членов, убеждаемся в справедливости (5.92).

Свойство 6. Дисперсия произведения неслучайного множителя С и случайной величины Ъ, равна произведению квадрата этого множи­

что и требовалось доказать.

Свойство 7. Дисперсия суммы независимых случайных величин

вается а — квантилью (квантилью порядка а) распределения слу­ чайной величины £.

Определение 2. Квантиль для а = 0,5 называется медианой рас­ пределения. Если хм — медиана распределения S, то

P { t < X « Х - f 1 Р ( 6 > ^ м ) < Т -

138