Файл: Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 78
Скачиваний: 0
Медиана и а-квантиль (0 < (а < 4 ) существуют для любой слу чайной величины, но иногда определяются неоднозначно.
Определение 3. Модой (модами) закона распределения заданного
плотностью вероятности f (х), называется точка ее максимума (точки максимума).
Вычисление числовых характеристик случайных величин, рас пределенных по закону Пуассона. Пусть случайная величина | распределена по закону Пуассона (5.4):
Р(1 = т) = ^ - ё ~ а, |
т= О, |
1,2, . . . . |
|
|
Вычислим математическое ожидание: |
|
|
||
оо |
оо |
|
|
|
M { l ] = S ^ mp ( g = . m ) = 2 т |
т\ |
т |
(5.97) |
|
т = О |
т = О |
|
т\ |
|
|
|
|
||
Чтобы вычислить сумму ряда, |
стоящего в правой части, рассмот |
|||
|
ОО |
|
|
|
рим степенной ряд: |
тЛ= О 1т\ |
|
|
|
- |
|
|
|
|
который сходится на всей числовой оси и его сумма равна:
nmvm |
ах |
|
|
а х |
|
|
|
s(*)=S — |
— = е . |
(5.98) |
|
т=0
Применяя теорему о дифференцировании степенных рядов, по лучаем:
ОО |
т |
|
|
|
v m — 1 |
ах |
|
|
|
х а |
|
|
|
|
т ------------= ае . |
|
|
||
ml |
|
|
|
|
т—О |
|
|
|
|
Положив х = I, находим, что |
|
|
|
|
ОО |
|
ОО |
|
|
|
|
т - |
: ае |
(5.99) |
|
|
т\ |
|
|
т ~ О |
|
О |
|
|
Подставляя сумму последнего ряда в (5.97), видим, что матема тическое ожидание случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равно
М[1\ = а. |
(5.100) |
* См. [4], формула (3.34), стр. 95.
13»
Вычислим дисперсию
оо |
оо |
„ т |
|
D [g] = ^ |
|
(5.101) |
|
(яг - а ) 2 Р (g = т) = ^ (яг - а ) 2 — е -3. |
|||
т —0 |
т=0 |
т\ |
|
|
|
||
Представим (яг—а)2 следующим образом:
(яг—а)2 — яг (яг— 1) + |
(1—2а) |
яг а2. |
Тогда выражение для дисперсии |
(5.101) |
можно преобразовать |
к виду: |
|
|
ОО |
|
ОО |
D[\\=e
|m=0 |
т =0 |
+ а2
ат
~т\
т = 0
Продифференцируем (5.98) по х два раза:
|
Ж-1 |
„ |
т—хт |
У * . |
|
f (х) = |
яг (яг— 1)------ j— |
= а |
|||
|
т—0 |
, |
|
|
|
Положим в этом выражении х = 1: |
|
|
|||
|
ОО |
|
ат |
|
2 а |
|
|
|
|
||
s"(1)==2 |
|
— |
= а е . |
||
m(m-’ 1) т\ |
|
||||
|
т = |
0 |
|
|
|
Подставим в (5.102) суммы рядов из (5.99) и (5.103):
£>[£] = е~а [ае + (1 — 2а) аеа+ а У ] .
(5.102)
(5.103)
После привидения подобных членов находим, что дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равна:
D[l] = a. |
(5.104) |
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по показательному закону. Плотность вероятности случайной величины, распределенной по показательному закону, определяется формулой (5.23):
г / ч__( |
о |
для |
х < 0 ; |
— \ |
л - % Х |
для х>0. |
|
. |
ке |
л* |
|
Вычислимматематическое ожидание и дисперсию этой величины:
+оо
M [£]=A , f xe~kxdx. b
140
Интегрируем |
по частям, |
положим |
и — х\ |
тогда dv |
||
— е~и ; du = dx\ v = ё~Хх. |
|
|
|
|
||
Получим |
|
|
|
|
|
|
СО |
|
0 3 |
1 Л |
|
, |
СО |
j'xe-Xxd x = |
|
|
||||
-хе ~ %х + |
— |
[e~Xxdx^ 0--- 1- е ~ Хх |
||||
о |
|
о |
* J |
|
|
X2 |
|
0 |
о |
|
|
|
|
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.105) |
Аналогично |
|
|
|
|
|
|
D [Е] = j |
|
|
|
„2 —:XxA |
Kxdx + |
|
-----ке Xxdx — k j xle Kxdx— 2 j xe |
||||||
о |
|
|
|
6 |
|
о |
|
|
+ T \ e~ " dx’ |
|
|
||
так как |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2e - Xxd x = — ^ - ^ - |
H------\xe Kxdx = — , |
|||||
TO |
|
|
o |
о |
|
X3 |
|
J2___^2 |
| L |
J_ |
|
||
|
D\l] |
|
||||
|
X2 |
X2 |
' X2 ~ |
X2 |
|
|
|
|
|
||||
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины рас пределенной по закону равномерной плотности. Плотность вероят ности случайной величины, распределенной в промежутке [а, Ь] по закону равномерной плотности, определяется формулой (5.24):
для а < Х & ;
/(* ) = 6 — а
0 для х<С.а и для х^>Ь.
Вычислим математическое ожидание этой величины:
|
4-00 |
а |
|
Ъ |
4-оо |
М [I] = |
J xf(x)dx= |
j* х 0 dx + |
-----J xdx -j- |
J 0 xdx. |
|
|
— oo |
— oo |
|
a |
b |
Первое и третье слагаемые равны нулю. Таким образом, |
|||||
ЛП1] |
1xdx = |
1 |
*2 |
b2— а2} |
6 -f- а |
6 — а |
2 |
2(6 — а) |
(5.106) |
||
|
Ь— aJ |
2 |
|||
а
141
Аналогично находим дисперсию
D [|] = — — [ ( х - |
-b^ |
) 2dx = ituR ll. |
(5.107) |
|
b — a J \ |
2 |
) |
12 |
|
а
Вычисление числовых характеристик случайной величины, рас пределенной по нормальному закону. Вычислим некоторые число вые характеристики случайной величины, распределенной по нор мальному закону. Плотность вероятности нормальной случайной величины в общем случае имеет вид:
|
|
(х—ту |
f(x)= |
J - е |
2о2 |
|
У 2л а |
|
Найдем математическое ожидание:
|
+ СО |
|
(x—m f |
Mil] |
хе 2ffl dx. |
|
2па |
Сделаем замену переменной:
t] dx = odt; x = atJr m. |
(5.108) |
Тогда интеграл в правой части равенства преобразуется к виду:
+ о о |
|
+ О 0 |
М[\ |
tdt-\— У = |
dt. |
У 2. |
V 2п |
|
Первый интеграл равен нулю (как интеграл от нечетной функ ции по симметричному промежутку). Второй интеграл равен У 2л (см. 5.27). Поэтому
М[%] = т. |
- (5.109) |
Найдем дисперсию:
|
+ о о |
|
(х—т)2 |
DH] |
(х— mfe ~~^dx. |
|
V2;■ТСG |
Подстановкой (5.108) преобразуем это выражение к виду:
|
- fO O |
|
м |
|
D[l] |
о2 |
t2e |
dt |
|
У 2n |
||||
|
|
|
||
|
— СО |
' |
|
Вычислим последний интеграл по частям, обозначая
_ Л |
р |
u = t\ du= dt; dv=te 2 dt; v = —e |
2 . |
142