Файл: Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие.pdf

Применяя к сумме, стоящей в правой части равенства, свойство 2 двойных интегралов (аддитивность относительно области интегри­ рования), получим:

v = H\f(x, y)\dxdy.

правляющей для которой служит граница области D, а образую­ щая параллельна оси z, может быть определен по формуле (1.45).

Пусть в области D определены две непрерывные функции (х, у) и /г (х, у), причем для всех точек области D справедливо неравенство

fi(x, y)<h(x, у).

Рассмотрим тело, ограниченное поверхностями /ф (х, у), f2 (х, у) и цилиндрической поверхностью, направляющей для которой слу­ жит граница области D, а обра­ зующая параллельна оси г. Оче­ видно, что это тело (на рис. 18 тело АВСЕА'В'С'Е') можно рассмот­

реть как разность цилиндроидов, построенных над областью D функ­ циями /ф (х, у) и / 2 (х, у). Пусть объемы этих цилиндроидов v2 и vv Тогда объем v рассматриваемого тела равен:

икоординатными плоскостями.

Ре ш е н и е . Обозначим буквой D область, заштрихованную на рис. 19. Тогда по формуле (1.44) имеем:

30

Прямая А В в плоскости Оху имеет уравнение

Расставляя пределы интегрирования в интеграле (1.48), получаем:

v = ^ 'd x J с^ 1 -----^------- (1.49)

оо

Вычислим внутренний интеграл:

Подставив этот результат в (1.49), получим:

а

о

Заметим, что ответ легко проверяется с помощью элементарной геометрии, так как рассматриваемое тело — пирамида:

v = —— S0Cvh = — (-J- ab] с = — аЪс.

Вычисление площади поверхности. Рассмотрим поверхность, за­ данную уравнением z = f (х, у). Пусть в области D функция / (х, у) непрерывна и имеет в этой области непрерывные частные производ­

из поверхности z = f (х, у) цилиндром, построенным на области D, т. е. цилиндром, образующая которого параллельна оси г, а направ­ ляющая является границей области D. Обозначим эту поверхность Q. Надо дать определение для величины, которую будем принимать за площадь указанной поверхности, и вывести формулу для вычис­ ления этой величины. Разобьем область D на п частей Dk, площади которых обозначим через Ask (k = 1, 2, . . . , п). В каждой из об­ ластей Dk выберем по точке (xk, yk). Через каждую точку прост­ ранства с координатами (xk, yk, f{xk, yk))'проведем плоскость, ка­ сательную к поверхности z = f (х, у). Цилиндры, построенные на частичных областях Dk, «вырежут» из поверхности П частичные

поверхности ЙА, а из касательных плоскостей — части Qk, пло-

31

щади которых обозначим Aok (рис. 20). Под площадью поверхности fi будем понимать величину а, определяемую равенством

Выведем формулу для вычисления площади поверхности. Из геометрии известно, что

Ask

Дщ. (1.51) cos yfe

z

У

где yk— угол между касательной плоскостью, проведенной к по­ верхности в точке (xk, yk, f (xk, yk)), и плоскостью Оху. Уравнение касательной плоскости имеет вид*:

Из аналитической геометрии известно, что угол у между пло­ скостью Оху и плоскостью

А (х—х0) + В (у—у0) + С (z—z0) = 0

определяется равенством

У Л2+ 5 2 + С2

Применяя это к плоскости (1.52), получим:

32

Подставив равенство (1.53) в равенство (1.51), получим:

Подставив это равенство в формулу (1.50), имеем:

По этой формуле и вычисляется площадь части поверхности z ■ = f (х, у), расположенной над областью D.

Пример 10. Вычислить площадь поверхности верхней половины шара:

(перед радикалом взят знак «+ », так как требуется вычислить площадь поверхности верхней половины шара). Вычислим частные производные

Получим:

a = R

D'

33

Расставляя пределы по области D' аналогично тому, как это было сделано в примере 7 (случай 2), и учитывая, что <р меняется от 0 до 2л,

получим:

2л R

при р = 0 t = R;

при р = R t — 0.

Подставив этот результат в формулу (1.56), получим:

2л

а = R2 ( dcp = 2лR2.

о

Вычисление моментов плоской фигуры. Статическим моментом 5; материальной точки относительно оси I называется произведение массы т материальной точки на расстояние ее до оси I, т. е.

S[ ~md[.

Моментом инерции Jt материальной точки относительно оси I называется произведение массы т этой точки на квадрат расстоя­ ния ее до оси,

Ji = md2i.

Статическим моментом системы материальных точек относи­ тельно оси / называется с у м м а статических моментов относи­ тельно этой оси всех материальных точек, входящих в систему..

Введем определение понятия статического момента плоской фи­ гуры относительно оси так, чтобы оно было естественным обобще­ нием соответствующих определений статических моментов мате­ риальной точки и системы материальных точек.

Пусть по области D равномерно распределена масса с плот­ ностью р = 1, т. е. масса любой части области D численно равна площади этой части. Разобьем область D на п частей; пусть площадь частичной области Dk (а следовательно, и масса) равна Asfe (k — 1, 2, . . . , п). Выберем в каждой из областей Dk по точке (xk, yk). Каждую из частичных областей будем рассматривать как матери­ альную точку с массой Ask, расположенную в выбранной точке, а всю область будем рассматривать как систему материальных то­ чек, расположенных в точках (xk, yk) (k = 1, 2, . . . , п). Статиче­ ские моменты этой системы материальных точек относительно ко­

ординатных осей х н у обозначим соответственно S(xn) и Syn) (верх­

34