Файл: Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие.pdf

ний индекс указывает, что эти величины относятся к выбранному разбиению области на п частей). Согласно данным выше определе­ ниям (рис. 21), имеем:

Статическими моментами области D относительно координатных осей х и у будем называть величины, определяемые равенствами

Аналогично вводятся моменты инерции для области D и выво­ дятся формулы

Пример 11. Вычислить статические моменты относительно координатных осей х н у фигуры, ограниченной осью х и аркой синусоиды, т. е. об­ ласти D, ограниченной линиями

=~ч (1 — cos 2х) dx — ■

^ <!

Лsin X

35

Итак,

Вычисление координат центра масс плоской фигуры. Рассмотрим область D с равномерно распределенной по ней массой (р = 1). Пусть S — площадь, а следовательно, и масса области. Центром масс области D будем называть точку, обладающую следующим свойством: если в эту точку поместить материальную точку с мас­ сой, равной массе всей области, то статические моменты этой мате­ риальной точки относительно координатных осей х и у равны со­ ответственно статическим моментам всей области относительно этих же осей. Пусть (хд, г/ц) — координаты центра масс. Тогда по оп­ ределению

Пример 12. Вычислить координаты центра масс фигуры, ограниченной

36

Г л а в а 2

ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

2.1. Основные понятия и определения

Интегральная сумма. Пусть в пространстве в системе координат Oxyz задана замкнутая область V, в каждой точке которой опреде­ лена функция/ (х, у, z). Разобьем область V каким-либо способом на п частичных областей, не имеющих общих внутренних точек: Vlt V2 , ■■, Vn. Объемы этих областей обозначим соответственно Aolt Дц2, •• Avn. В каждой из элементарных областей Vk (k=\,2,. . ., п) выберем по произвольной точке Pk (xk, yk, zk) и во всех выбранных точках вычислим значение функции / (х, у, г). Составим сумму Qn произведений значений функции в выбранных точках на объемы соответствующих частичных областей:

fe=l

Выражение вида (2.1) называется интегральной суммой для функции / (х, у, z) в области V. Так же, как и построенная ранее (см. 1.1) интегральная сумма по плоской области, величина Qnмо­ жет зависеть как от способа разбиения области на части, так и от выбора точек в частичных областях.

Определение тройного интеграла. Каждому разбиению области V на п частей аналогично тому, как это было сделано в случае дроб­ ления плоской области (см. 1.1), поставим в соответствие числоХп— ранг дробления области:

^n = max{<4) (k=\, 2, . . . п),

где dk — диаметр частичной области Vk.

Определение. Если при стремлении к нулю ранга дробления об­ ласти V существует конечный предел интегральной суммы,

П

2 f(xk, yk, zk) Avk, k=\

не зависящий ни от способа разбиения области V на части, ни от выбора точек Pk (xk, yk, zk), то этот предел называется тройным интегралом от функции f (xk, yk, zk) no области V и обозначается

Сопоставление определений тройного, двойного и определенного интегралов. При сопоставлении определений двойного и определен­

37

ного интегралов (см. §1.1) сформулировано обобщенное определе­ ние интеграла. Легко видеть, что сформулированное определение тройного интеграла является частным случаем обобщенного опреде­ ления. В качестве функции f следует взять функцию от трех пере­ менных f (х, у, z), в качестве области интегрирования — трехмер­ ную область V, а в качестве меры области — ее объем.

Теорема существования. Так же как и для двойного интеграла, сформулируем без доказательства теорему, указывающую на до­ вольно широкий класс функций, для которых тройной интеграл существует.

Теорема. Если функция f (х, у, z) непрерывна в замкнутой об­

ласти V, то существует тройной интеграл от функции f (х, у, z) по области V.

Заметим, что функция f (х, у, z), для которой существует трой­ ной интеграл по области V, называется интегрируемой в этой об­ ласти.

Физическая интерпретация тройного интеграла. Пусть некото­ рое вещество заполняет в пространстве область V. Будем считать, что плотность вещества не постоянна, а является непрерывнойфункцией координат f (х, у, z); (/ (х, у, г )> 0 в области V). Разобьем область V на п частей Vk (k = 1, 2, . . . , л). Плотность вещества в каждой частичной области Vk будем считать постоянной, равной плотности в произвольной точке Pk (xk, yk, zk) из области Vk. Обо­ значив массу вещества в области Vk через mk, получим:

т-k = f {%k> Pk> ^k) k•

Просуммируем массы вещества всех частичных областей:

П

Л4 = ^ / (-*-&> Ук> Zk) Д^/г- k=\

Для того, чтобы это равенство стало точным, надо перейти к пре­ делу при стремлении к нулю ранга дробления области:

п

м = lim V f(xk, yk, zk)Avk.

В правой части этого равенства стоит выражение, совпадающее по определению с тройным интегралом от функции f (х, у, z) по об­ ласти V. Таким образом, имеем:

и интегрируемы в области V и в любой ее части.

Линейность. Свойство 1. Постоянный множитель можно вы­

38

Свойство 2. Тройной интеграл по области V от суммы функций

равен сумме тройных интегралов по области V от каждого слагае­ мого. Для случая двух слагаемых это свойство может быть выра­ жено формулой

Доказательство свойств 1 и 2 вытекает непосредственно из опре­ делений тройного интеграла.

Свойство 3. (обобщающее свойства 1 и 2).

Аддитивность относительно области интегрирования. Свойство 4.

Если область V разбита на две области Р х и V2, не имеющих общих внутренних точек, то имеет место равенство:

Д о к а з а т е л ь с т в о . Разобьем область V на части таким образом, чтобы каждая частичная область целиком принадлежала или области V-у или области V2 (для этого надо в число поверхно­ стей, дробящих область V на части, включить поверхность, отде­ ляющую область Pi от области Р 2). Тогда интегральную сумму по области V можно представить в виде

где нижние индексы под каждой суммой указывают, к какой области относятся слагаемые, входящие в сумму. Переходя в равенстве (2.8) к пределу при стремлении к нулю ранга дробления области V, получим равенство (2.7), что и требовалось доказать.

Оценки тройного интеграла. Свойство 5. Тройной интеграл от

неотрицательной функции неотрицателен, т. е. из неравенства f (х, у, г) >- 0 в области V следует неравенство

J j | / (х, у, z) dv > 0.

V

Доказательство свойства вытекает из формулы (2.2), в правой части которой оказывается предел от суммы неотрицательных ве­ личин, т. е. неотрицательное число.

39