Файл: Бро, Г. Г. Методика анализа и прогнозирования производительности труда.pdf

зования метода наименьших квадратов. При этом математи­ ческое ожидание величины А аппроксимируется с помощью линейной комбинации t функций |і ( 0 . Ік(0> которые имеют следующий вид:

ставляет независимые переменные, из них выделяются наибо­ лее существенные, т. е. те, которыми можно ограничиться при разработке модели (2.39).

С одной стороны, увеличение числа переменных £,-(/) по­ вышает точность аппроксимации случайных колебаний и по­ этому не следует брать слишком малое число независимых переменных при построении модели. С другой, может оказать­ ся, что начиная с некоторого числа т, добавление новых пере­ менных £,т+і, Іпі+2 и т. д. приводит к столь незначительному

повышению точности описания исследуемого процесса, что возникающие при этом трудности вычислений не «окупают» получаемых результатов. Общим правилом (качественного ■ характера) при выборе порядка аппроксимирующего много­ члена является учет количества имеющихся данных (размер динамического ряда) и результатов предварительного анализа на основе инженерно-экономических соображений.

На практике для выбора необходимого и достаточного числа переменных факторов %i(t) разработано ряд статистике ских критериев [10]. Основной смысл их сводится к тому, что определяется такое число (т) переменных, при котором до­ бавление других £m+i(0> Іпі+2(0 . !т+з(0 и т. д. несущественно

повышает точность аппроксимации исследуемого случайногопроцесса.

Ниже излагается один из критериев, описанный в ра­ боте [10]. Удовлетворительность описания исследуемого про­

результаты этих отклонений. Для того чтобы определить, на каком порядке авторегрессии следует остановиться, вычисляют несколько моделей типа (2.38) разного порядка с включением

вала). Затем для авторегрессий различного порядка опреде­

имеет распределение х2 с р—т степенями свободы.

123

X

В выражении (2.40) <тр2 — сумма квадратов остатков для

о том, что исследуемый процесс, действительно, представляет авторегрессию определенного порядка.

Авторегрессионная модель считается подходящей, если ре­ зультат испытания ее, по критерию согласия К. Пирсона, под­ тверждает правильность выбора.

Возможны и другие подходы для определения иаилучшей авторегрессионной модели случайных колебаний. Самый эле­ ментарный из них состоит, например» в том, что построив авто­ регрессию для предыдущих .моментов времени, исчисли ютпредсказание па текущий год. Признаком удачного подбора уравнения авторегрессии выбранного порядка служит неболь­ шая дисперсия распределения случайных величин е/. опреде­ ляемых из соотношения

s( = Д Г 1 — (Аъ&г-і -г А2Дг-н -i ~г • • • “Ь А/Д7-_1). (2.41)

Другими словами, выражение (2.41) определяет ошибку в оценке наиболее вероятной величины изменчивости случай­ ных колебаний А/, т. е. ошибку в определении отклонения, вы­ званной случайными колебаниями.

Анализ динамического ряда случайной величины е/ пред­ ставляет значительный интерес при любых способах выбора необходимого количества членов в "авторегрессионной модели.

Без ограничения общности можно полагать, что остатки уравнения авторегрессии распределены по нормальному закону

сматематическим ожиданием,.равным нулю, с дисперсией а2.

Вэтом случае, как известно, легко получить вероятный интер­ вал предсказываемых значений. Действительно, если случай­

имеет /-распределение с п— иг степенями свободы. Исходя из изложенного, можно с определенной, наперед заданной веро­ ятностью ß, предсказать интервал /р, в котором будет нахо­ дится данная величина S,

где Д( — математическое ожидание предсказываемого значе­ ния случайных колебаний; Д?аііТ — истинное значение случай­ ных колебаний.

124

Для получения более точных результатов можно восполь­ зоваться некоторыми другими способами, которые, однако, требуют усложнения вычислений. Кроме этого, в этих случаях, как правило, неизвестны способы получения необходимых оценок.

Перейдем теперь к вопросу о методике определения пара­ метров выбранного уравнения авторегрессии. Выше указыва­ лось, что набор функций, описываемых выражением (2.39), представляет собой независимые факторы искомой модели. В этом случае исходные данные для разработки авторегрес­ сионной модели,' описывающей изменчивость случайных коле­ баний анализируемых факторов, могут быть представлены в виде табл. 26.

Таблица 26

Общий вид исходных данных для разработки авторегрессионной модели

125

Допустим, что одним из Известных методов на основе имеіо* щегося набора переменных факторов li(t) (табл. 26) выбрано достаточное число их: (t) , . . . , £,„(/). В этом случае неизвест­ ные параметры Ль Л2, . . . , А т модели (2.38) находятся мето­ дом наименьших квадратов так, чтобы

П

авторегрессии минимизирует сумму квадратов отклонений от имеющихся наблюдений. Неизвестные параметры такой мо­ дели находятся путем решения следующей системы нормаль­ ных уравнений:

Г\ +Л I + Г]Л2 + • •. 4- гт-1Лm = 0 ,

Г9+ Г1Л1+ Л2+ . . . + Г,п_2Л,п = 0 ,

Гт~\-Гт-\А\ + . . . + Л ТО= 0,

где г1, /’г ,. . ., гт — коэффициенты автокорреляции соответст­

венно первого, второго и т. д. порядков; Ль Л2, . . . , Ат — неиз­ вестные (искомые) параметры уравнения авторегрессии.

В. наиболее удобной матричной форме записи система (2.44)

от традиционной системы нормальных уравнений, составляе­ мой на основе того же метода наименьших квадратов для оп­ ределения параметров обычных корреляционных миогофактор-

126

(гых моделей или параметров уравнений многофакторных регрессий. Основное отличие их состоит в том, что при реше­ нии системы нормальных уравнений (2.44) или (2.45) на вы­ ходе получается модель без свободного члена, в то время как решение обычной системы нормальных уравнений дает регрес­ сионную модель со свободным членом.

Таким образом, решение системы нормальных уравне­ ний (2.44) дает искомую авторегрессионную функцию (2.38), на основе которой можно производить оценку случайных коле­

очистного забоя на уровень производительности труда. Очевидно, что изложенная методика вполне пригодна для

определения математического ожидания величины случайных колебаний при оценке динамики влияния факторов с качест­ венной характеристикой (горногеологических условий произ­ водства: отжима угля, устойчивости кровли, гипсометрии лавы и ее обводненности). В табл. 11 приведены значения коэффи­ циентов Са, Ср, С, и С», которые отражают изменчивость во времени среднего влияния факторов с качественной.харак­ теристикой. При расчете этих коэффициентов для каждого

влияния каждого исследуемого фактора и по своей физической сущности представляют изменчивость случайных колебаний

которые и будут характеризовать усредненное влияние слу­ чайных колебаний горногеологических условий на уровень производительности труда.

Значения ДСі определяются также на основе авторегресси­ онной модели, которая находится путем решения' системы нор­ мальных уравнений (2.44). Результат решения представляется

Исходные данные для составления системы нормальных уравнений (2.44) берутся на основе разработок по каждому исследуемому фактору с качественной характеристикой а, ß,

127