Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 127

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Гл. IX . Дальнейшее изучение классической разреоюенности 109

ных Bh-функций) *). Например, в любом открытом множестве a crR " всякая B LD -функция тонко непре­ рывна квазивсюду (Дени [3]). Вероятно, теоремы IX. 12 и IX . 15 в общем случае на эти функции не распро­ страняются, однако заметим, что всякая BLDфунк­ ция вне некоторого компактного множества в R'! (n ^ 3) имеет тонкий предел на бесконечности (Дени — Лионе).

9.

Приложение к теории функций. Классическая

теорема Вейерштрасса утверждает, что для функции

f(Z), мероморфной всюду в некоторой окрестности

точки Z 0, кроме самой точки Z 0, предельное множе­

ство

(значений этой функции) в Z 0 либо одноточечно

(т. е.

существует предел в Z 0), либо есть вся расши­

ренная плоскость. Дуб [7] заметил, что то же самое

утверждение верно для тонких предельных множеств.

Доказывается это непосредственно, и Тода [1] заме­

тил,

что доказательство сохраняет силу, если Z 0 за­

менить на замкнутое множество, разреженное в Z 0.

Иными словами, имеет место

Т е о р е м а IX. 16. Если функция f(Z) мероморфна

в открытом множестве со и Сш разрежено в Z0, то

тонкое предельное множество в Z 0 либо одноточечно,

либо

совпадает с расширенной плоскостью.

Доказательство. Пусть К не является предельным значением. Можно (выполнив в случае надобности дробно-линейное преобразование), считать, что А = оо. Тогда для некоторой тонкой окрестности а точки Z 0 функция f будет ограничена в <в П сг. Вещественная и мнимая части функции f имеют в Z 0 тонкий предел (теорема IX . 12), значит, и сама функция f тоже.

Этот

вопрос был более глубоко разработан Д у­

бом [7],

а затем рядом авторов, в особенности Тодой

[1, 2]. Например: если Z0 — изолированная граничная

*) См. Дени [3], Дени и Лионе [1], Брело [15], Дуб [6]. Общая BLD-функция в открытом множестве G с Rn - это веще­ ственная квазивсюду конечная функция, являющаяся пределом квазивсюду последовательности гладких (даже класса С°°) функ­ ций с конечной полунормой Дирихле (т. е. с конечным инте­ гралом Дирихле), представляющей собой последовательность Коши по этой полунорме.

110

 

Ч. I. Внутренняя тонкая топология

 

 

 

точка

и

если

в Z 0 предела

мет (т.

е.

имеет

место

существенная

особенность),

но

есть

тонкий предел,

то не существует пикаровских

исключительных

зна­

чений

(Дуб); в общем случае, когда в Z 0

нет и

тон­

кого

предела,

исключительные

значения

для

любой

тонкой окрестности точки Z0 образуют локально

полярное

множество (Тода).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава

X

 

 

 

 

 

 

 

 

СВ Я ЗИ С Г Р А Н И Ц Е Й Ш О К Е

 

 

 

1.

Границы Шоке и Шилова. О п р е д е л е н и е X. 1.

Пусть

на компактном пространстве Е рассматривается

семейство Ш функций со значениями

в R, которые

мы предполагаем полунепрерывными снизу и >

— оо.

Следуя Шоке,

назовем точку Х е £ Ш-экстремальной,

если любая единичная мера

 

на Е , удовлетво­

ряющая

для

всех / е і f неравенству

 

J f (х) d\i (,v) ^

^ f ( X ) , совпадает с гх (единичной массой в точке X). Множество таких точек называется границей Шоке ‘) пространства Е (относительно <%).

Если <Е— векторное пространство вещественных непрерывных функций, то данное определение сво­ дится к тому, что всякая положительная единичная

мера р.,

удовлетворяющая условию J f d p ~ f ( X ) для

всех f,

совпадает с е^.

Если

Е — выпуклое компактное множество в отде­

лимом

локально выпуклом топологическом простран­

стве, а Ж — множество сужений на Е всех непрерыв­ ных линейных форм, то ^-экстремальные точки совпа­ дают с крайними точками множества Е .

Наименьшее компактное множество, на котором каждая функция из $ достигает своего минимума

') Сам Шоке назвал ее тонкой границей, поскольку она со­ держится в границе Шилова (см. ниже),

 

 

Гл. X . Связи с границей Шоке

 

ІИ

(если оно существует),

называется границей Шилова

множества Е .

 

 

 

 

 

Бауэр [1] доказал,

что если функции из

Ж разде­

ляют

точки Е и выполнено условие:

и е | ,

 

и

=Фи ■

f t i G l ’,

то граница Шилова

существует

является замыканием границы Шоке.

Обе эти границы

весьма важны, и поэтому представляет интерес их связь с понятием разреженности. Она дается следую­ щей теоремой.

2. Т е о р е м а X. 2 (Бауэр [1]). Рассмотрим в про­ странстве Грина Q0 относительно компактное откры­ тое мнооісество ß и семейство § вещественных непре­

рывных в Q и гармонических в Q функций. Тогда

граница Шоке Q относительно & есть множество всех регулярных граничных точек (а замыкание этого множества, называемое иногда п р и в е д е н н о й гр а ­ н и ц е й '), есть соответствующая граница Шилова).

Доказательство. Теорема является простым след­ ствием следующей леммы Келдыша (литературные ука­

зания и

простое

доказательство

этой

леммы

см.

в Брело [20 bis]).

 

 

 

 

 

Если

 

х0— регулярная

граничная точка, то суще­

ствует

функция

из

<Г,

которая

равна

нулю

в х0,

а в остальных точках положительна.

 

 

Для

наших целей достаточно существования для

заданных

е >

0,

/< >

0 такой неотрицательной функ­

ции из

 

’ которая

< е

в х0 и

> Д вне некоторой

окрестности

б точки

х0 (это доказывается проще).

Будем использовать именно эту ослабленную лемму.

Предположим,

что х0— регулярная точка, а

ц > 0 —

единичная мера,

такая, что J f dp = f (х0),

V f e c ? .

Беря в качестве f функцию из леммы, получаем

B

^

Jf ä j x ^ J / dp ^ К,р (Сб).

 

 

 

С5

 

') Первоначально приведенная граница определялась как множество точек, любая окрестность которой пересекает не по локально полярному множеству.

112

Ч. 1. Внутренняя тонкая топология

 

Следовательно, величина ja (Cö)

сколь угодно

мала,

т. е. |.і =

еХо,

и точка х0 ^-экстремальна.

 

Обратно,

предположим, что

х0 ^-экстремальна.

Тогда

 

Действительно,

в противном

случае

С fda =

f(x0),

V f e â 5, где а — равномерно распреде­

ленная единичная, мера на любой достаточно малой сфере с центром в х0.

Итак, пусть ,ѵ0 <= ÖQ; введем гармоническую меру р-

в точке .v g Q

и представление Яф(.ѵ)— J

q>{y)dp~(tj)

(cp — конечная

непрерывная на dQ функция). Рассмо­

трим фильтр

S , являющийся следом на Q

фильтра

окрестностей

точки х 0, и пусть р — любой

слабый

предел мер р~ по какому-либо фильтру

более тон­

кому, чем

Тогда

 

 

Нэ

J fdp° = f ( x ) ^ f ( x Q),

и поэтому J" fd\i = f{xü). Так как точка л'0 ^-экстре­

мальна, то р = е . Следовательно, меры р~ слабо

сходятся к еХі

по

фильтру

 

Таким

образом,

Щ( х ) -^ > ф (а'о), и мы

заключаем, что точка х0 регу­

лярна.

 

 

 

 

 

 

 

 

З а м е ч а й и е.

Обратную

часть

теоремы

можно

также

получить,

исходя из существования

в

иррегу­

лярной точке х0 тонкого предела

Hf (V fe d f) .

Он

дается

выражением

J f dvx,

(где

ѵ.Ѵо— единичная

положительная мера,

отличная от еА-0')) и равен

f(x0)

(в силу непрерывности f). Отсюда следует, что точка xQ не является ^-экстремальной.

■ ) Фактически ѵХа есть

е Ѵі) (выметание производится

в некоторой области Грина

Q0zo£2).

Смотрите также файлы