Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf

100

Ч. 1. Внутренняя тонкая топология

Будем теперь исходить из Ь) и обозначим через X

указанный

в b)

lim inf;

тогда при 0 <

X' < X

функ­

ция ѵ/Х' мажорирует Gx, на

е Л а

для

некоторой

окрестности а точки ,ѵ0. Следовательно, ѵ/Х'

Но

не может быть

равно G.Vo (согласно нашему

предварительному замечанию).

Отсюда

следует раз­

реженность

е П о

и,

значит,

е.

З а м е ч а н и е .

Используя

лишь

свойство

адди­

тивности отображения

(где ѵ — супергармони­

ческая функция

> 0 )

и

свойство

инвариантности

Ше е =

можно

доказать

непосредственно,

что

$ G X

Ф Gx,

влечет &eVo({^o)) = 0 (в любом

простран­

стве Грина). Поэтому предыдущие рассуждения

по­

казывают,

что условия

а)—■ с) эквивалентны

нера­

венству

Ф GXa

без

использования

результатов

теории выметания (теоремы V III. 3).

У п р а ж н е н и е .

Доказать

эквивалентность

усло­

вий

а) — с)

и разреженности,

используя

следующую

лемму (полезную также и для

дальнейшего).

Таким

критерия (а)

разреженности

в Rre (см. Брело [5]).

Л е м м а

IX.

8 (Винер—■ Валле-Пуссеи). Рассмо­

трим в Rn меру

р > 0, не

нагружающую начала 0,

число s >

1. Сужение меры р на множество

£ „ =

{.Л л (I * I) < s"-4 и W

/г (I * I) > S"+2}

имеет потенциал V,

который на

мнозісестве

/rt= {X '|s “ < ft(|.V '|)< S 'I+I)

(A)

мажорируется

функцией 1г(\х\)га

(е,г->0),

(B)

в случае конечности ѵ(0) мажорируется

величи­

ной К ѵ {0),

где К не зависит от р и п.

Доказательство.

Элементарный подсчет

показы­

г / е Д и / г . Отсюда

сразу получается второй резуль­

тат. Первый результат является следствием того

известного

факта,

что

среднее

значение ѵ на дВо

имеет вид /г (г) е (г),

где г (г) —> 0

при г -> 0 ')•

5.

Т е о р е м а

IX. 9 (Булиган). Замкнутое мно­

жество е в пространстве Грина

Q будет неразрежен­

ным

в точке ,ѵ0е е

в

том

и

только в том

случае,

когда

a) решение задачи Дирихле в Q \ е с граничными

значениями

Gi'„

и

0

в

точке

Александрова А

равно

Gxa.

Если

оке точка xQ полярна, то необходимое и до­

статочное условие

таково:

b )

на

а \ е

(где о — некоторая

открытая

окрест­

ность точки ,г0) существует супергармоническая функ­

ция

и,

такая,

что u/G% —.>+

оо, х е С е ,

х —>х0

такая,

что ujG%~>-\- со в

х0.

Для

всякой области

о er Q,

а Еэ х0,

имеем

(R

а

=

G"

на о. Далее,

для

хо

функции fa, равной G.4 на о и нулю

в других точках

и, в частности,

в точке Александрова пространства £2,

имеем

ß \<?

^

^б{\а

на

а \

е.

Отправляясь

от)*

H f

R Ga

= {je0j),

выберем подпоследовательность ор]

так, чтобы

сумма

У і Н

была конечна1) (л^ею,,

где со,—

выберем подпоследовательность

а2 так, чтобы сумма

H f ^ e (хЛ была конечна (х2е

со2) п т. д. С помощью

тельность а',

такую, что и =

У іН ^ 'У е будет гармо-

р

°р

нической функцией в Q \ е. Далее, и, ^ N G 0^

на ст(ѵ \ е

и u ^ 2 ~ 'N G I

на подходящей

окрестности

точки х0

(вне множества е)2), и это доказывает, что поведе­

из условия Ь). Тогда функция e« =

G*0+

(е > 0)

имеет неотрицательный

lim inf во

всех

А*0

регулярных

граничных точках

множества а \

е

(ö er Q). Поэтому

G l — Я ° о е^ е « , и мы получаем

условие

а).

У п р а ж н е н и е .

Доказать, что

среди

различных

других форм критерия

справедлива следующая: для

валентна конечности

2 Y (Aide)s'1 или,

что

то

же

самое,

конечности 2

^ [пПе(хо)-

Эквивалентность двух последних условии ясна,

потому

что

мера,

ассоциированная

с Щ пПе, сосредо­

точена

на

/„, а

ее

потенциал в точке х0 заключен

между ѵ(ЛіПе)зп и у (Inf\e) sn+i.

Доказательство. Прежде всего из приведенного

условия

следует,

что ^ ПВл:г(л:0) —> 0

при

г —>0,

т.

е.

Оп-потенциала ѵ,

конечного в х0, но стремящегося

к -j-oo

в х0 по е.

Если £ =

( J/ 2pn<?. то функция

конечна

в

х 0

и стремится

к

р

оо

по Е

вне некото­

+

рого

полярного множества;

соответствующая мера ц

сосредоточена

на

Е, а ее сужение

ц |С / 2р имеет h-

или G-потенциал,

ограниченный на /2рГ)е (лемма

IX. 8, В)). Далее,

мера ц |/2р при

где р0 доста­

точно велико, имеет потенциал Ѵр^ \

на /2р Т\е всюду,,

за исключением

некоторого

полярного

множества.

оо

Следовательно,

Vp^ â S[2pne при р ^ р 0 и 2

^ 2рПе(xo)^

Po

(G-потенциал ц в х0) = $ ѵ (х 0),

т. е. эта сумма конечна.