Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf

Гл. XI. Обобщение на случай аксиоматических теорий 119

цип превращается в решетку (даже полную). Введем такое соотношение эквивалентности для пар неотри­ цательных супергармонических функций:

и рассмотрим соответствующие классы эквивалент­ ности [«!, «2І; они образуют линейное пространство S.

При подходящей топологии Т на S (Эрве)') мы полу­ чаем отделимое локально выпуклое топологическое

линейное пространство, причем конус S +, изоморф­ ный множеству всех пар [и, 0], имеет компактное метрнзуемое основание В. Теперь классическая тео­ рема Шоке о крайних элементах дает для любой не­

и ( х ) ~ I V(х) d\i, ( о ) , где р,— единственная положитель­

ная единичная мера на множестве В, сосредоточенная на множестве его крайних точек. Эти крайние точки суть либо гармонические функции (их множество обо­ значим через Н), либо потенциалы с точечными носи­ телем (их множество обозначим через Р). Следова­ тельно,

рой конус S + будет иметь компактное метрнзуемое основание (указано Картаном для классического случая (не опубликовано) и далее развито Брело [19] ). Эрве [1] удалось обойтись без введения этой новой аксиомы, а Мокободский предложил дру­ гой простой способ построения этой топологии (см. Мокобод­ ский [1], Брело [28J).

Гл. XI. Обобщение на случай аксиоматических теорий 121

в классическом случае, существенна тонкая топология

(см. Брело [26— 30]).

5. Сопряженные пучки. (См. Эрве[1].) Рассмотрим совокупность предположений (А2), включающую в себя (А,Р) и предположение о существовании базиса отно­ сительно компактных открытых множеств, которые являются вполне определяющими в том смысле, что для

любого потенциала ѵ, гармонического в 6, R v = ѵ в б. Выберем потенциал ри с носителем [у], принад­

лежащий фиксированному компактному • основанию конуса S + (в топологии Эрве). Тогда всякий потенциал

алом и-допускает поэтому представление j pz(x)da®(z).

Рассмотрим любое вполне определяющее множество б с 6 с с о 0 и конечную непрерывную функцию / на ш0,

удовлетворяющую условию f(y) = J f(z)da6u (z). Такие

функции f для всех со0 образуют пучок, удовлетво­ ряющий аксиомам 1— 3, причем множества 5 образуют базис регулярных открытых множеств, а а® является

гармонической мерой. При изменении в выборе потен­ циала Ру сопряженные гармонические функции умно­

жаются на некоторую вещественную положительную непрерывную функцию.

Далее, у*->Ру(х) представляет собой соответст­ вующий потенциал с носителем [х] и обозначается через р*х {у).

П р и м е р. Если рассмотреть в Q c R " решения дифференциального уравнения в частных производных второго порядка эллиптического типа с локально липшицевыми коэффициентами, то при подходящем

выборе Ру сопряженный пучок будет соответствовать классическому сопряженному уравнению (Эрве [1]).

6. Выметание. Приняв лишь предположения (А) или даже более слабые предположения (Бобок — Константинеску — Корня), можно обобщить важнейшие

свойства функций R%> и особенно функций Ru, Ru для супергармонических неотрицательных и (аддитивность по и, строгая субаддитивность по е и т. д.). Заметим,

что при предположениях (Aj + D) функция Rett является наименьшей неотрицательной супергармонической функцией, которая мажорирует и квазпвегоду на е. Использование тонкой топологии оказывается здесь полезным.

Что касается выметания меры, то общая теория значительно отличается от классической из-за отсут­ ствия симметрической функции Грина. Принимая пред­ положения (А), рассмотрим меру р > 0 с компактным

носителем; равенство J Ra dp, подсказанное

классическим случаем, если оно выполняется для всех вещественных непрерывных потенциалов и, определяет единственным образом меру ^ 0 (называемую выме­ тенной мерой). При дополнительных предположениях эта формула может быть обобщена на случай общих супергармонических функций и.

Эта теория имеет много приложений; в случае (А]) уже справедлив критерий разреженности множества е

в точке хо в форме ф гХа (Константинеску [2]).

Принимая предположения (А2), рассмотрим со­ пряженный пучок (п. 5). Пусть звездочка обозначает „сопряженное понятие“ . Тогда справедлива следующая

ключевая формула: R pie (х) = /?*» {у) (Эрве). Из нее,

вчастности, вытекают:

a)тождественность сопряженно полярных и поляр­

ных множеств;

b) эквивалентность аксиомы (D) для сопряженного и для исходного пучков;

Гл. X I. Обобщение на случай аксиоматических теорий 123

с) следующий критерий разреженности множества е в точке х0$£е: для некоторой окрестности б точки х0

Однако мы не можем здесь входить в детали многочисленных обобщений классических результатов при различных предположениях (см. Эрве [1], Бобок, Константинеску и Корня [1,2], Константинеску и Корня [2], Константинеску [2], Брело [27, 28, 30, 32,33]).

7. Задача Дирихле для компактных множеств. Здесь также были получены обобщения классических результатов. Прадель [1,2] сперва при предположе­ ниях (А,), а затем и при многих других предположе­ ниях выяснил роль разреженности и рассмотрел связи рассматриваемого вопроса со свойством квазианали­ тичности гармонических функций (т. е. с тем обстоя­ тельством, что гармоническая функция является нулем, если она равна нулю в окрестности некоторой точки).

Отметим еще, что в рамках аксиоматической теории (при тех или иных дополнительных предположениях) можно проследить и связи с границей Шоке, но, кажется, эти результаты нигде не публиковались.

8. Более слабые аксиоматики. Для того чтобы дать приложения к теории уравнений параболического типа, Бауэр [2, 3, 5] ослабил предыдущие аксиомы следующим образом. Если отвлечься от некоторых несущественных деталей, то он сохранил аксиомы 1 и 2 и ослабил аксиому 3, требуя, чтобы для напра­ вленного по возрастанию семейства гармонических функций ui на открытом множестве со sup«* также был гармонической функцией при одном из следующих условий: (КД sup ц, ограничен; (КДэирн; конечен; (Kd) (аксиома Дуба) sup ut конечен на плотном множестве. Для того чтобы получить принцип минимума, Бауэр вводит следующую аксиому: