Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf

124 Ч. I. Внутренняя тонкая топология

(Т) в Q существует положительная гармоническая функция h и !г-гипергармонические функции (опре­

деление такое же, как в классическом случае) раз­ деляют точки й.

(Часто предполагают, что уже положительные функции разделяют точки Q.)

Заметим, что эти аксиомы удовлетворяются и в первоначальной аксиоматике, если предположить, что в Q существуют две непропорциональные гармо­

базиса в Q и существование для каждой точки і е £ 1 положительного в х потенциала, Бауэр построил тео­ рию, аналогичную изложенной выше. Однако инте­ гральное представление в этой теории более сложно

и не столь полезно в связи с отсутствием у конуса S + основания. Понятие разреженности играет аналогич­ ную роль.

Преимущество аксиоматики Бауэра состоит в том, что она применима также к уравнению теплопровод­ ности и вообще к широкому классу уравнений второго порядка параболического типа. Бобок, Константинеску

иКорня [2], Константинеску и Корня (в обширной монографии [4] по гармоническим пространствам), Уолш и другие авторы еще более ослабили эти аксиомы

иполучили более общие теории локального и гло­ бального характера. Некоторые обратные проблемы были рассмотрены Ханзеном и особенно Мокободским

иСнбони (см. Мокободский [2]).

Что касается топологий, используемых в этих аксиоматических теориях, то упомянем о недавней книге Фугледе [6], посвященной тонко гармоническим функциям, а также, хотя это и находится вне рамок нашего изложения, о важной роли понятия ядерности, введенного Лоэбом и Уолшем (см. также Хинрик-

сен [1]).

Для приложений описанных аксиоматических тео­ рий важно определить все пучки, удовлетворяющие аксиомам. Для случая области в R'1 и функций

Часть 2

ГРАНИЧНЫЕ ТЕОРИИ И МИНИМАЛЬНАЯ РАЗРЕЖЕННОСТЬ

Глава XII

А Б СТ РА К Т Н АЯ М И Н И М АЛ ЬН АЯ Р А ЗР ЕЖ Е Н Н О С Т Ь .

МИ Н И М АЛ ЬН АЯ ГРА Н И Ц А .

МИ Н И М АЛ ЬН АЯ ТОНКАЯ ТО П О Л О ГИ Я

1.Введение к части 2. Граничные задачи в теории дифференциальных уравнении в частных производных изучались ранее только для евклидовых границ. Небольшим усовершенствованием было введение точки на бесконечности в R" и использование компактифици­

рованного пространства. Впрочем, в классической проективной геометрии также использовались точки, линии и плоскости на бесконечности.

Первым примером введения другой важной границы были простые концы Каратеодори, примененные им для изучения поведения функций комплексного перемен­ ного. В настоящее время их можно рассматривать как частный случай границы Мартина (см. гл. XIV), или компактификации (пополнения). Специалисты, изучав­ шие задачу Дирихле, также пришли к необходимости расщеплять некоторые граничные точки; ясно, что в круге с разрезом по некоторому радиусу нет ника­ ких оснований ожидать, что в точке, лежащей на этом радиусе, граничное поведение решения будет одина­ ковым при подходе к ней с разных сторон. Для того чтобы придать этим рассмотрениям более отчетливую форму, представлялось естественным ввести в соот­ ветствующей области подходящую метрику, совмести­ мую с евклидовой топологией, и затем пополнить пространство по этой метрике (см. Брело [9]).

Но как вскоре было обнаружено, лучшие резуль­ таты получаются, если вводить границу, зависящую от природы изучаемого класса функций. Вообще если рассматривается произвольное топологическое nDO-

странство Q и функции на нем со значениями в другом пространстве £У, то наиболее полезные границы полу­ чаются компактификацией или пополнением Q, зави­ сящим от класса рассматриваемых функций. Эти рас­ суждения будут развиты в следующей главе и там же будет дан ряд приложений.

Далее, иногда бывает естественно узучать поведе­ ние рассматриваемых функций в связи с некоторыми последовательностями точек или некоторыми фильт­ рами. Эти фильтры можно рассматривать как точки абстрактной границы, причем представляется интерес­ ным, а иногда даже необходимым ввести на объеди­ нении Q и этой абстрактной границы топологию таким образом, чтобы сходимость по рассматриваемым филь­

ванализе (теория Шоке). На этом пути мы придем

кпонятиям минимальной границы, минимальной раз­ реженности в точках границы и продолжим ранее рассматривавшуюся тонкую топологию до так назы-. ваемой минимальной тонкой топологии. Фундамен­ тальное значение этих понятий ярко демонстрируется классическими результатами Наим и Дуба о гармо­ нических и супергармонических функциях (эти резуль­ таты обобщены Гаурисанкараном на случай аксиома­ тической теории гармонических функций), которые

имеют существенные приложения в теории функций комплексного переменного и в дифференциальных уравнениях с частными производными. Во многих случаях, как мы это увидим ниже, минимальную тонкую топологию можно изучать в рамках теории, развитой в части 1.

2. Предварительные сведения. Изложение в этом пункте основано на работе Мышкиса [1].

Те о р е м а X II. 1. Пусть Q — некоторое множество,

ипусть в нем-задана топология, превращающая его

втопологическое пространство й0- Рассмотрим в й0 семейство {Ö;} ( і е I) базисов фильтров, образованных

128 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

1)на Q они индуцируют топологию пространства ß0;

2)для любой точки і е / пересечения окрестностей этой точки с Q образуют фильтр с базисом 23/.

Среди этих топологий имеется сильнейшая топо­ логия Тм; в ней множество Q открыто, а на I она индуцирует дискретную топологию; множества из S it к которым добавлена точка і, образуют базис окрест­ ностей точки і в этой топологии.

Среди тех из указанных выше топологий, в кото­ рых Q открыто, имеется слабейшая топология Т,п\

фильтра, являющегося фильтром окрестностей точки і в топологии Т,п в Q,.

Наконец, топология Т,п будет отделимой в том и только в том случае, когда

a) пространство Q0 отделимо;

b ) Ѵл; е Q0) i е I, существуют окрестность точки х

вQ0 и множество ае23/ без общих точек-,

c)Ѵі, / е I, і ф /; существуют множества н е 23г, ße23/ без общих точек.

бегает 23/, образуют базис окрестностей точки і. Аксиомы окрестностей выполняются, и эта топология удовлетворяет требованиям 1) и 2); в ней множество Q открыто, и она индуцирует на/ дискретную топологию.

Влюбой топологии, удовлетворяющей условиям 1)

и2), окрестность точки х е й или / е / является, оче­ видно, окрестностью и в только что построенной топо­ логии, и поэтому последняя действительно является сильнейшей топологией Тм.