Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 124

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

130 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

изложение, рассмотрим непустое множество Q и два

семейства неотрицательных

функций.

 

Одно из них — это содержащий нулевую функцию

конус

U вещественных

функций (которые будем на­

зывать

гармоническими).

 

 

 

Второе — это выпуклый конус Р функций со зна­

чениями в R (которые будем называть потенциалами).

Таким образом, р {, р2е

Р=#>а,р] +

а2р2^

Р (ао а2^ 0 ).

(Мы принимаем, что 0 •

оо =

0.)

 

 

Обозначим

еще

через S

конус

U

Р , состоящий

из функций

вида

и +

р, где u ^ U ,

р<=Р. Будем

предполагать выполненными следующие аксиомы.

А к с и о м а

к е U, р е / 5, и ^ р = ф и — 0.

А к с и о м а Ао. Если и <= U , в е Н , го inf (и, ѵ) е 2.

В случае когда существует р = + оо, из аксиомы А, следует, что и — 0, Ѵи е У .

М и н и м а л ь н ы е г а р м о н и ч е с к и е ф у н к ц и и.

О п р е д е л е н и е X II. 2.

Функция /г е

£/ называется

минимальной,

если

из

u ^ U , и ^ / г

следует, что

и = ah (а ^

0).

 

 

 

В а ж н ы й

ч а с т н ы й

с л у ч а й *&.

Предположим,

что конус

U

выпуклый-

и рассмотрим

линейное про­

странство

U — U .

Допустим, что при

естественном

порядке для функций неотрицательные элементы совпадают с элементами из U , т. е. что U является положительным конусом этого линейного простран­ ства. Тогда для /ге U , /гфО,

h минимальна

{А/г | А. ^

0} есть крайняя

образующая конуса U.

П р и в е д е н н а я

ф у н к ц и я .

Так же как и ранее,

рассмотрим множество Е cz Q

и вещественную не­

отрицательную функцию f на Е, мажорируемую функцией из 2. Положим

Rf — inf V,

V

на Е,

и будем вместо R] писать

просто R[.

Гл. X II. Абстрактная минимальная разреженность

131

Т е о р е м а

X II. 3.

Для

заданных

минимальной

гармонической

функции ІіФ О и множества

Е с О ,

следующие

условия

эквивалентны.

 

 

 

a) Д ь ф і і ,

т.

в.

существует такая функция

и е 2 ,

что ѵ ^ Іг на Е , но

не

всюду.

 

 

 

 

b) Существует потенциал, мажорирующий h на Е .

c) Для

u ^ U

условие

u ^ R h

влечет и — 0.

 

Доказательство.

Пусть

имеет

место а),

и

пусть

V — функция,

существование

которой

утверждается

в а). Тогда

функция

ш =

inf (о, /г)

удовлетворяет

условиям а е

S,

w ^ h , w — h на Е ,

w щЬ Іг. Далее,

разложение

w =

u-\-p

дает гг^/г, откуда

u = ah,

где 0 ^ а <

1;

следовательно, на Е выполнены соот­

ношения аh Jr p =

h,

 

=

h, и

мы

получаем Ь-).

Пусть имеет место Ь). Тогда потенциал, мажори­ рующий h на Е, мажорирует также R h, и это дает с).

Наконец, из с) следует, что

и, значит, h ^ R h ,

т. е. что имеет место а).

 

 

О п р е д е л е н и е X II.

4.

Множество Е er й назы­

вается разреженным относительно минимальной функ­

ции к щ к 0, если R u щк k (или выполняется любое другое

из приведенных выше эквивалентных условий).

Это определение (Гаурисанкаран[1 ]) подсказано соответствующим классическим понятием (Наим[1]) и условием в форме Ь) для классического случая полуплоскости и так называемых P L -мңожеств (Альфорс и Хейнс [1]).

З а м е ч а н и я . 1) й

никогда не разрежено (Ѵ/і);

0 всегда разрежено;

подмножество разреженного

множества разрежено.

 

2) Для всякой минимальной гармонической функ­

ции h Ф

0 множество {х \Іг (х) = 0} разрежено отно­

сительно

h.

 

Действительно,

потенциал 0 мажорирует h на этом

множестве.

 

Т е о р е м а X II. 5. Пусть h — минимальная гармо­

ническая

функция

щк0. Объединение множеств

5'

132 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

ие2, разреженных относительно /і, будет также раз­ режено. Таким образом, множества, дополнительные к разреженным, образуют некоторый фильтр £л.

Доказательство. Если е,, е2 разрежены и ри р2 —

потенциалы, мажорирующие h на еь е2, то р, + р2 есть потенциал, мажорирующий h на ех(J е2.

Т е о р е м а X I I . 6 (Наим [1], теорема 8.17; Гаурп-

санкаран [1]). Пусть 1г— минимальная функция Ф О,

а о е Х .

На множестве А , где отношение v/h

имеет

смысл, ѵ/Іі имеет предел

по фильтру 2ft; этот предел

конечен и равен inІ(ѵ//г).

 

 

 

 

 

Л

 

 

 

 

 

Доказательство.

Так

как

С Л с: {х |/г (л:) =

0} == е,

то С А

разрежено.

Положим

а =

inf (v/h)\ число а

конечно,

ибо в противном случае и

л

потен­

ѵ, и любая

циальная часть р в разложении функции ѵ были бы

равны

-j- со

на

С'е, а тогда было бы / і ^ р

всюду

и функция h была бы нулем.

 

 

 

Рассмотрим

теперь множество Е е — {х е

Л | vjh ^

+

е), е >

0.

Очевидно, Е е гэ е Л А и Е г Ф

Q; далее,

иЦа +

е) ^/г

на Е г П С е , но не на С Е е. Следовательно,

Е е разрежено,

т.

е. С Е г е= £й, и

ѵ/h на А

стремится

к а по фильтру Zh.

 

 

 

С л е д с т в и я .

Пусть !г, h' минимальны,

Ф О и не

пропорциональны.

Тогда

 

 

 

1) на множестве Е , где h'/h имеет смысл, h'lh — >-0;

 

 

 

 

 

 

 

Ч

2) существуют не имеющие общих точек мно­

жества из фильтров £ а и Т/г- соответственно.

 

Доказательство. Утверждение 1) есть следствие

того

факта,

что

неравенство

/г'/Л ^ Д >

0

на Е

влекло бы за собой равенство h' — Л/г всюду. Утвер­ ждение 2) доказывается рассмотрением того подмно­

жества

множества Е , где h ' / h < \ (это — элемент

фильтра

£Л), и того подмножества, где h'jh > 1 (это—

элемент

фильтра %,Д.

4. Минимальная граница. Две минимальные функ­ ции будем называть эквивалентными, если они про­

Гл. Х П . Абстрактная минимальная разреженность

133

порциональны (с множителем ФО). Класс эквивалент­

ности, содержащий ft, обозначим через ft. Фильтр £Л одинаков для всех ft из данного класса эквива­ лентности, и поэтому мы будем его обозначать че­ рез Т,-.

О п р е д е л е н и е

X II. 7.

Классы

ft называются

минимальными граничными

точками,

а их совокуп­

ность— (абстрактной)

минимальной границей

ззг.

Понятия lim, lim sup,

. . . , соответствующие фильтру

будут называться

тонкими lim,

lim sup

и т. д.

в точке ft.

 

 

 

 

 

Заметим, что в случае 93 точкам ft

соответствуют

крайние образующие конуса U , а если U имеет осно­

вание, то крайние точки этого основания.

 

Т о п о л о г и ч е с к а я

и н т е р п р е т а ц и я .

Пусть

Q — топологическое пространство, V — выпуклый конус вещественных неотрицательных непрерывных функций на Й, a Р — выпуклый конус полунепрерывных снизу неотрицательных функций. Тогда функция из U -}- Р и + оо образуют выпуклый конус Ф, удовлетворяющий

условиям

гл. I,

и можно рассматривать тонкую топо­

логию £Г на Q.

 

 

Далее,

для

непрерывных функций

О имеем

=(где Ё — тоцкое замыкание множества В).

Следовательно, если е разрежено в ft, то ё также разрежено, и дополнения к тонко замкнутым множе­

ствам, разреженным в ft, образуют базис фильтра

элементы

которого — тонко

открытые множества.

Мы можем

теперь воспользоваться

теоремой

X II. 1,

в которой / заменено на т .

Таким

образом

полу­

чается

 

 

 

 

Т е о р е м а X II. 8. На множестве Q U m существуют

топологии, удовлетворяющие условиям:

 

1) на Q

они индуцируют

тонкую топологию 6Г\

2) соответствующие им фильтры окрестностей для любой точки ft е m индуцируют на Q фильтр Т;-.

В такой топологии понятия lim, lim sup,

по Q

Смотрите также файлы