Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf

можно найти убывающую последовательность окрест-

со

со

ностей <у„,

такую, что f | ап = {.ѵ0}

и f |

(ап

еп) \ {х0}

строго разрежено

0.

/1=1

,

U

в х П= I

У к а з а н и е . Для любых последовательностей мңо-

жеств еп и

можно

написать

/1=1

/1—1

ностей „точки л'0.

Предположим, что Ф С-замкнуто,

что

разреженность влечет строгую разреженность и

что

существует

счетный базис

(со„) окрестностей

точки х0,такой,

что П &>„ = {х0].

Тогда существует

такая, что П ф і= (* о ) 11 U

О7« \ сг„) U {*о}

является

тонкой окрестностью точки ,ѵ0.

[Это — переформулировка упражнения 1)

в терми­

нах тонких окрестностей.]

П р е д л о ж е н и е II. 10.

Сверхразреженность вле­

и и > Я ңа некотором е[\'а.

Поэтому

R lna (х0) < и (х0),

Д? п е (*0) < и (х'о)А

СГ

что е строго' разрежено

Обратно, предположим,

в х0, а Ф С-замкнуто.

Так как inf P incr(x0) = 0,

то для каждого п суще-

ствует

окрестность ст„ точки .ѵ0, такая, что

пстл (лг0) <

а

<-^з-.

Следовательно, существуют и „ е Ф , такие, что

ипАо) <

Дз и ип

на е П оп. Рассмотрим и = V пип.

26

Ч. 1. Внутренняя тонкая топология

Т е о р е м а 11.12.

Пусть еп— последовательность

строго неразреженных

множеств в х0, х0 ф еп. Пред­

положим,

что существует счетный базис окрестностей

точки д'0.

Тогда существует убывающая последова­

(Е П а,г) \

б„ го (епf) со,,) \ б,„

и поэтому

д{яп®„)\вп^ д

Возьмем

0 <

АГ <

1;

для

всех

n ^ N

будем иметь

ß(En<on)\ön^

^

рг

Следовательно,

sup^[£n“")XÖ(A:0)>/iC.

Так как

любое

а содержит

со,г

при я >

N , то

Гл. H I. Общие результаты о тонких пределах

27

ность б„ окрестностей точки х0,

такая, что х0 является

тонкой предельной

точкой для

U(ert\ ö ;J).

б. Иногда полезно следующее

О п р е д е л е н и е

11.13. Множество

е называется

пренебрежимым, если V e 'er е,

R\ — 0

на С е '.

П р о с т е й ш и е

с в о й с т в а ,

і) Конечная сумма

жеством.

ii) Строго полярное множество пренебрежимо.

Действительно, если е ' с е

и .ѵ е С е ', то существует

функция и е Ф,

такая, что

и =

+

оо на е',

а и (х)

конечно. Тогда для любого

Я >

0

имеем Яц =

+

оо

на е', так что Ri {х) Xu (x'). Таким образом, Ri (л:) =

0.

iii) Если е пренебрежимо,

то е \

[х] будет строго

разреженным в х

при любом х.

^

Предположим

еще, что Ф С-замкнуто. Тогда

строго полярным.

Действительно, пусть

е' с: е и х ф е'. Существуют

ип е Ф, такие, что ип > 1

на е' и ип(х) < 2~п. Но тогда

2 м „ е Ф , 2 иа = + °о на е' и 2

{х) < + оо.

b )

Пусть Q '—какое-либо топологическое простран­

ство,

а f — функция

на подмножестве Е из Q,

нераз­

реженном в точке х0

ф Е ,

со значениями в Q'.

Пусть

V — тонкая

окрестность

точки ха

Q, и допустим,

что /

имеет

предел /, когда л'->.ѵ0,

V f l £ .

Тогда

тонкий

lim

f существует

и равен

I.

c)

X->.ѵ0, .vs£

предельное

значение1)

f на Е

Пусть А,— тонкое

в точке Л'о,

причем Е

неразрежено

в х0ф Е . Тогда А,

есть также

^-предельное

значение f в х0 на любой

тонкой

окрестности V.

Т е о р е м а

III. I 2). Пусть

f — функция,

опреде­

ленная

на

подмножестве

Е

из Q,

неразреженном

в А'о ф Е , со значениями

в топологическом простран­

стве

Q'.

Предположим,

что *существует

тонкий

lim

f — l

и что

выполнены следующие условия:

счетный базис

окрестностей.

Тогда существует такая тонкая окрестность V

точки х0, что

lim

f = l {т. е. f стремится к I

X S E пѵ

вне некоторого разреженного множества).

ствует

тонкая

окрестность б;і

точки хй,

такая,

что

из

П б,г

следует

f(x)

е

а„.

Положим

еп =

= [х е

Е I/ (х) ф а„).

Так

как

еп с

Сб„,

то еп будет

разрежено в х0 для любого п. В

силу іі) еп будет

строго

разрежено в

х0

для

любого п.

Но тогда по

‘) X

является тонким (соответственно

г)

предельным зна­