Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 120

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

144 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

Доказательство. Пусть и > 0. Используем пред­

ставление и ( у ) = [ К (X, tj)dyi(X), в котором р есть

строго положительная мера. На Л существует такая

точка Ar0, что всякая ее открытая окрестность V в Q имеет р-меру ф 0. Следовательно,

 

 

 

 

VJ К (X , у) dp ( X ) = Х и (у),

 

где V — произвольная

окрестность

точки А 0, а Х =

=

р (Ѵ)/и (уо).

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К (X , у)

 

 

 

 

 

 

» (У)

! К (Хо. у) r f p ( X )

 

 

 

 

К {Хо. у) и (уо)

 

 

jrfp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

Пусть

у

зафиксировано. При заданном е > 0 выберем

V

так,

чтобы

при Х е У иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

1 — е <

К (X,

у)

<

1 +

е.

 

 

 

 

 

 

К (Хо. у)

 

 

 

 

 

Тогда

то

же

самое

будет верно для

всей правой

части,

и,

следовательно, левая часть равна 1.

 

З а м е ч а н и е .

Предыдущие

рассуждения показы­

вают, что если функция

f К ( Х ,

y)d\i(X) минимальна,

то

она

пропорциональна

К ( Х 0,

у),

где

А 0 — точка

замкнутого носителя меры р.

 

 

 

 

 

Соответствие

Х>—> К х

между

А

и

множеством

В'Ус функций Кх из By. является гомеоморфизмом. Действительно, Х<—> К Х есть непрерывное и взаимно однозначное отображение компакта А на отделимое

пространство В',л . Образ множества А! представляет собой множество крайних точек множества Ву„.

3. Представление Мартина. Напомним сначала фундаментальные результаты Шоке.

Рассмотрим в отделимом локально выпуклом топологическом линейном пространстве Е выпуклый

 

Гл.

X IV . Классическое пространство Мартина

145

конус

С

с компактным основанием В (пересечением

С с некоторой замкнутой гиперплоскостью).

 

а)

 

Если

В

метризуемо,

то любая

точка

І е В

есть центр тяжести некоторой меры р ^ О

(||р ||=1),

сосредоточенной

на множестве

<§ крайних точек мно­

жества В

 

(т. е.

такой, что р(Сй?) = 0). Это значит,

что для

всякой

непрерывной

линейной формы I

на

Е имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 { Х ) = { l{x)dy(x).

 

 

ß)

Если

в

упорядоченности,

определяемой кону­

сом С, С есть решетка, то такое представление единственно.

В нашем

случае для пространства %>и, конуса U

и основания

В,Л известно, что ВУа компактно и мет­

ризуемо, а С является решеткой (гл. VI), причем последнее можно доказать и без использования представления Рисса.

Следовательно, для всякой неотрицательной гар­

монической функции и имеем

 

 

1{ и)= jl{v)d\i(v),

(2)

где V е ВУа, р — положительная

мера Радона

на ВУа,

а также на В'Уо, так как ц (С ^ ) =

0. Отсюда

 

и {у) = I V (у) d\i (V),

о €Е Ву„,

(3)

причем мера р не зависит от у.

Так как А гомеоморфно ВУа, то р можно рас­ сматривать и как меру на А. Таким образом, до­ казана

Т е о р е м а X IV . 4. Для любой неотрицательной

гармонической функции и на Q имеем

 

и { у ) = J K x (y)dfi(X) (X е= A),

(4)

д

 

где неотрицательная мера р сосредоточена на Aj и единственна.

146 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

Единственность в (2) влечет за собой единствен­ ность в (3) и (4), поскольку из справедливости соот­ ношения (3) для всех у следует справедливость со­ отношения (2) для всех I. В противном случае и не была бы центром тяжести для р, и этот центр тя­ жести, будучи точкой из ВУа, являлся бы гармониче­ ской функцией, отличной от и, т. е. в некоторой

точке у

мы имели бы и ( у ) ф J" v(y)dp(v).

 

4.

Пример: случай шара в R". Т е о р е м а

X IV . 5.

В случае когда Q

есть шар с центром уй и радиу­

сом R,

отношение G (х , y)jG (х , у0) имеет предел при

х - > Х ,

где X — точка обычной евклидовой границы,

причем

этот предел

равен

 

 

К х (у) =

Г 2— \у — г/оI2

(4)

 

\х-и\п

Поэтому евклидово замыкание шара Q и его гра­

ница гомеоморфны Q и Д, а К ( Х , у) есть приведен­ ное выше ядро Пуассона. Кроме того, Д, = Д (по­ скольку все точки границы равноправны и по крайней мере одна из них минимальна).

Доказательство. Мы начнем со случая полупро­ странства, для которого легче вести расчет.

Для полупространства в R3 имеем

G (х, у)

1

(5)

I *і — у I

 

где Хі — точка, симметричная точке х относительно граничной плоскости Н . П ри фиксированной точке у0

G(X,

у)

_ _

.-1

I—Л

у

у

'

1\-у

Уо

Хі

—

і

Уо'і '

G(x,

Уй)

\*1

 

I — I * — 1

х—- у[ •\I

- \

 

— Уа\— \х — Уй\

 

 

 

 

х

 

— у\

Первый множитель равен

X)

у

I2

—

Iу. —

у

_

хі

 

 

уо

\IХі

—Уо

УзI2

ХіI — у о I +

I л: — I

 

—

I2

—

I * — I2

 

I

— у

I +

у

 

 

 

I -V- — I *

Из теорем элементарной

геометрии следует,

что

I Х\ — у р — I X — у р = 46*6^,

где öx — расстояние

от %

Гл. X IV . Классическое пространство Мартина-

147

до Н . Отсюда мы легко заключаем, что при х - * Х е Н

G [х, у)

6Ц I X — у013

G ( x . y 0)

\ Х ~ у \ * •

Вслучае R2 мы используем соотношение logx ~

~х — 1 при л'—>1, и аналогичные вычисления дают

предел,

равный

б у

\IхX- у— г/о I2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÖX/0

 

\ >

•

 

 

 

В

общем

случае пространства Rn при н > 3,

для

того

чтобы

преобразовать

выражение ----------—ö------

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I «I -

2/ Г

“

-------------- воспользуемся

тождеством ап — Ьп—

 

 

\ х - у \ п

 

 

 

 

 

 

 

 

=

(а — b)(arl~l 4- а п~2Ь-\- . . . );

это приводит нас снова

к

разности

I ^ _1

Г — I у -1--1- ;

используя

предыду-

щие

вычисления,

У\

 

 

к

общему результату:

приходим

 

 

 

G {х. у)

-> Ьу\х- Уъ Г

 

( х - > Х е Я ) .

 

(6)

 

 

 

G (х, уо)

 

 

 

 

 

бг/о I .Y — Г/ Г

 

 

 

 

 

Те же рассуждения показывают, что когда х стре­

мится

к точке

Александрова

пространства R", то

G(x,

y)/G(x,

г/о) —> öy/öy,

и,

таким образом,

(6)

при

очевидных соглашениях имеет место для всех гра­ ничных точек. Это дает ядро Пуассона для полупро­

странства.

Пользуясь

преобразованием

Кельвина

(в

случае

R2 — простой

инверсией), мы

заключаем,

что

в случае шара предел G (х, y)/G (х,

у0) сущест­

вует в каждой граничной точке. Поэтому Й можно идентифицировать с евклидовым замыканием.

Для того чтобы получить явное выражение этого предела, проще всего воспользоваться полученным выше предельным соотношением для точки Алек­ сандрова.

Подвергнем преобразованию Кельвина функцию бу/6у0, выполнив -инверсию в шаре радиуса бUt с цен­ тром в точке Х 0, симметричной точке у0 относительно плоскости Я; точку касания шара с Н обозначим че­ рез Z 0. Образ нашего полупространства будет шаром

148 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

с центром F0 = { ä + 2 o) и радиусом R = ~ ö l/l}.

Возьмем точку К0 в качестве начала и обозначим через у ., у\ координаты точки у и ее образа у ', при­

чем последнюю ось выберем перпендикулярной к Н (с уп> 0). Тогда

 

 

 

 

 

X

I

 

о п

_ х

 

у 'п +

%

 

 

 

 

 

 

 

Оу - Г

 

* А

--- °і/2а I X Q —

t f |2 »

 

 

*

 

б „

 

,

! t n + *

 

 

, _

2 Х / п + Ж 2- \ Х 0 - у ' \ 2

 

6уа -

I Х0- У' I2

 

 

 

1 * 0 - 0 ' I2

 

’

и так как

 

 

Р +

І К0-

Jo

P +2 (//'-К0) ■ (К0—J 0)—

I

у '

-

Х

о р = |

y ' - Y o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то

 

 

 

 

 

 

 

 

=

\ y

' - Y 0 \2 + R* +

2Ry'n,

 

 

 

 

бу

_

R2— \tf — YaI2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бу,

 

I *o -

0' I2

*

 

 

Вспоминая вид преобразования Кельвина в R", по­

лучаем

 

 

l-+

I. - 0-' lКо Р ^ „я-2 £2 - 1

- Ур Р ’

 

 

| * о - К Г

 

 

 

 

 

R n~ 2

R 2

 

У'

2

 

 

у'

 

 

 

 

 

 

 

~2

и

 

 

 

 

|*о- у ' \ п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

чем

формула (5)

 

 

установлена.

 

 

 

 

 

С л е д с т в и е .

 

Отсюда

непосредственно получа­

ется

представление

Лебега — Стильтьеса для

поло­

жительных гармонических функций в шаре с цент­ ром уо радиуса R:

и ( у ) = \ R n~2 d» (z) (7)

(с единственной положительной мерой ц на дО).

У п р а ж н е н и я . 1) Доказать существование меры (X, применив представление интегралом Пуас­ сона в концентрическом меньшем шаре и предель­ ный переход.

2) Используя полученное представление, вывести, что минимальные гармонические функции совпадают с функциями, пропорциональными ядру Пуассона.

Смотрите также файлы