Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 114

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Гл. X V . Пространство Мартина и разреженность

153

виям, определяющим й (здесь важно существование

предела G(x,

y)/G(x, у 0), когда х стремится к точке

из Й \ й).

 

 

 

 

Напомним,

что

мера р,

в (8) может

быть разло­

жена на'две части:

меру р,,

сосредоточенную на мно­

жестве крайних потенциалов и меру р2,

сосредото­

ченную на множестве минимальных гармонических функций. Следовательно, ввиду гомеоморфизма между

<§ и й и между $ \ Ш и А мы получаем разложение Рисса —Мартина

и ( !/ ) = { G (.V, у) Ъх dp, (х) + J К х (у) dp2(X). (9)

Второе слагаемое — это наибольшая гармоническая миноранта, представление которой дается форму­ лой (1).

Глава XV

К Л А С С И Ч ЕС К О Е П РО СТРА Н СТВ О М АРТИ Н А

ИМ И Н И М АЛ ЬН АЯ Р А ЗР ЕЖ ЕН Н О СТ Ь

1.Минимальная разреженность. Минимальная

тонкая топология н а й и ^ і -

Применим теперь резуль­

таты гл. X II. Рассмотрим

на пространстве Грина й

выпуклый конус U неотрицательных гармонических функций, выпуклый конус Р потенциалов и конус Ф неотрицательных гипергармонических функций. Ка­ ждый класс функций, пропорциональных минималь­ ной гармонической функции, соответствует некоторой

точке X е А[;

общая

абстрактная

минимальная гра­

ница m из гл.

X II, п.

4, совпадает в данном случае

с А;.

Разреженность

множества

е с= й в

точке X

будет,

следовательно,

характеризоваться

условием

Р ек ф

К х или

существованием

потенциала,

мажори­

рующего Кх на е (или хотя бы

квазивсюду на е, но

с мерой, сосредоточенной на Ве),

или

же тем

свой­

ством,

что Rkx является потенциалом.

Так же

как и

154Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

вобщем случае, объединение двух разреженных мно­ жеств будет разрежено, само й неразрежено и дополнения к разреженным множествам образуют фильтр Z x .

3 а м е ч а н и е. Если множество е разрежено в X, то Я к х ° К есть потенциал (для любого компакта /(ей ),

и этот потенциал стремится к нулю по направлен­ ному по возрастанию множеству компактов К.. В част­

ности,

если

б« есть окрестность X

в

й,

причем

Пбд =

* , то R £e 6" -> 0 .

 

 

 

 

 

У п р а ж н е н и е . Если

всякое замкнутое подмно­

жество

множества е типа F a разрежено в X е

А), то

е также разрежено в X (указано

Тодой

для

случая

открытого множества е).

 

 

 

 

 

П р и м е р .

В случае

когда й — шар,

множество

{ у \ К{ Х, у) <

Я}, являющееся дополнением к некото­

рому другому шару (касающемуся шара Q в точке X),

(минимально)

разрежено в точке X,

хотя и неразре­

жено в обычном смысле в R".

 

 

 

 

В общей

постановке вопроса

(гл.

X II, п.

4) мы

рассматривали возможные продолжения тонкой топо­ логии на й до топологии на ЙІ_|Ді, в которой окрест­ ности любой точки X е Ді пересекают Q- по множе­

ствам

фильтра Х х .

Мы

видели там, что существует

сильнейшая из таких топологий,

а среди топологий,

в которых Q открыто,- существует

слабейшая. Уточ­

ним это в рассматриваемом частном случае.

Л е м м а

X V . 1.

Если

б — открытая

окрестность

точки

Х е

А]

в

топологии Q, то множество й \ б

разрежено в X

(а следовательно,

б f| ^

неразрежено

в X).

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Если

это не так, то К х ?= R ^ 6—

—

Возьмем возрастающую

последовательность

(йл) относительно компактных открытых множеств, такую, что й;1с :й лс :й , U ß„ =>ß; тогда Rx \^&-»

Гл. X V . Пространство Мартина и разреженность

155

Так

как функция Щ '1^ 6

есть потенциал Ѵп,

то ее можно

представить в

виде

 

I G ( x ,

y ) d n n (x) или

I К ( х ,

y ) d v n (x),

где J dvn= I . Некоторая подпоследовательность ѵПр

будет слабо сходиться к мере ѵ на Q. Следовательно,

 

К Х ( У ) = $ К ( Х ,

y)dv(x),

y f = Q ,

x ^ Q ,

(1)

причем

d v — \

это

получается,

если

положить

у = у0). J

Так как ( ѵа(б

П«) =

0 (в силу гармонич­

ности

Ѵп на

öflQJ»

то

ПV,; сосредоточена

на Сд6 =

= Q \

ö

и это же

верно для

ѵ ‘)-

 

Из

гармоничности

интеграла (1) в Q следует,

что

 

v(Q) =

0, так что

мера V сосредоточена

на ДЛСдб .

 

Но

этот интеграл

минимален, и замечание в гл.

X IV ,

конец п. 2, пока­

зывает,

что

ом должен

быть

равен

КхДу),

причем

Х 0е С д 6 .

В

силу (1)

с

Z g ö

э т о

противоречит един­

ственности

точки X.

 

 

 

 

 

 

 

 

Л е м м а

 

X V .2.

Для

казкдой точки Х й^ ( х {

суще­

ствует открытое в Q множество а,

содержащее Д \ Х 0

и такое,

что аЛ П разреоісено в Х 0

(и, конечно,

нераз-

реокено в любой точке Y е Д,,

Y ф

Х 0). ,

 

 

Доказательство.

Покроем

Q \

 

{Х0}

такой

счет­

ной системой открытых множеств а„, замыкания

которых

не

содержат X q,

 

что

множества

а„ ПП

неразрежены

в любой

точке

 

А,

 

Функция

7?“пПа

является

потенциалом;

взяв

любое е, 0 <

е <

1, мы

сможем

выбрать

ö„ cz Q

так,

чтобы

для ап =

 

Л

7?“" n Q( y0) <

 

— ап \ (о,і

выполнялось

неравенство

2-пе.

’) Мы можем закончить

рассуждение следующим образом:

в силу (I) центр тяжести

меры ѵ, сосредоточенной на В,

есуь Кх - Но К х — крайняя

точка

для В,

и поэтому ѵ должна

быть мерой Дирака для точки I s 6 , Противоречие.

156 Ч.

2. Граничные

теории и минимальная разреженность

Тогда

/ $ ““ na(0o) <

в,

и (Ja«

удовлетворяет требова-

 

А0

 

 

 

ниям леммы.

 

 

 

Т е о р е м а X V . 3

(Брело

[33]). На П (М і суще­

ствует единственная топология, удовлетворяющая следующим условиям:

(i)она индуцирует на Q тонкую топологию;

(ii)соответствующие ей окрестности любой точки

X е А, пересекают Q по множествам фильтра Z x , Эта топология отделима, множество Q в ней от­ крыто, и она индуцирует на А, дискретную тополо­

гию.

Доказательство. Если со — открытая относительно компактная окрестность точки х е Q, то Ссо не раз­ режено ни в какой точке I s Д,. В топологии, удо­ влетворяющей условиям (і) и (іі), существует откры­

тое множество

а, такое, что a f| й = со; если

бы мно­

жество aflA|

было непусто, то в точке X e a f l A i

множество й \

a er Сосо было бы разрежено,

что не­

возможно. Поэтому a = со, и й открыто в рассматри­ ваемой топологии.

Покажем теперь, что слабейшая топология, удо­ влетворяющая условиям (і) и (іі), совпадает с силь­ нейшей такой топологией. Воспользуемся результа­ тами гл. X II, п. 4, и теоремой X II. I, взяв в каче­ стве {/) точки множества А 1; а в качестве элементов фильтров 23г — тонко открытые подмножества в Й, принадлежащие %х . Существование тонко замкнутого

множества, разреженного

в X и неразреженного ни

в какой

другой точке Д[

(лемма

X V . 2) показывает,

что (X)

есть

окрестность

точки

X

в рассматривае­

мой слабейшей

топологии.

Отсюда

следует совпаде­

ние ее с сильнейшей топологией. Теорема доказана. Топологию из этой теоремы будём называть ми­

нимальной тонкой топологией на й (М і-

2.Интерпретация минимальной тонкой тополо­

гии на S2 U Aj.

Л е м м а

X V . 4. Если

множество Есгй

разрежено в

Х е А,,

то существует открытое мно­

жество со =э Е ,

также разреоюенное

в X .

Гл.

X V . Пространство Мартина и разреокенность

157

Доказательство. Мы знаем,

что R Kxe

(у) — inf R%x (у)

 

 

 

 

 

0)

 

(о открыто, (йтэе) (см. теорему

V III. 12). Так

как

ReKx (Уі) < Кх (У\) Для некоторого

у и

то

существует

такое со,

что R%x (г/,) < К х (і/і)>

и

это

со

разрежено

в точке

X.

 

 

 

 

 

Л е м м а X V . 5. Из соотношения J G (x, у) dpx(г/)<1

^JG (x, y) dp2'(y) для любой точки x следует соот­

ношение J V dp 1

J" V dp2 для любой неотрицатель­

ной супергармонической функции ѵ.

Доказательство. Если {а„} — возрастающая после­ довательность компактных множеств, такая, что

(J ал = Q, то Ravn(y) есть потенциал j" G(x, y)dvn(x) и

J Rvndp{ = J ({ G (*>У) Фі) dvn.

То же самое верно для ц2При сделанных предпо­ ложениях

J $ яф , < / R lnd.p2,

и искомый результат получается переходом к пре­ делу при ц -»оо .

Т е о р е м а X V .6

(Наим [1]).

Разрезюенность

мно­

жества Е cz Q, в точке

I g A,

эквивалентна сущест­

вованию такой меры

р ^ О ,

что в топологии Мар­

тина £Tm

 

 

 

 

 

[ К х (У) dp (у) =

T m- lim inf

f К (x, у) dp (у).

(2)

J

 

X ë £ , X ->X

j

 

Доказательство. Мы знаем, что если X не при­ надлежит £Гт-замыканию множества Е , то Е разре­ жено в X , и условие (2) выполнено (с (х = 0), по­

скольку правая его часть, т. е. sup inf Г К (х , у) dp (у)

6 х<=Е ПÖ

(5— любая ^“ .„-окрестность), равна в данном случае + °° (как inf по пустому множеству).

Смотрите также файлы