Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf

Напомним, что если функция, гармоническая по одну сторону от гладкой (дважды непрерывно дифферен­ цируемой) поверхности, равна нулю на этой поверх­ ности, то ее градиент имеет при приближении к по­ верхности конечный предел. В случае функции x^—^ G ( x , y ) в шаре этот предел равен как раз

dG „

-т— . Выше мы установили существование этой нор-

° пх

мальной производной независимо.

Подчеркнем, что классическое решение задачи Дирихле для шара, т. е. интеграл Пуассона

J K x (y)f(X)dv(X), или J R» - 2-^ - J l - y ° f f(x)dv(X)

(ѵ — равномерное распределение единичной массы на сфере), можно записать в виде

равно как общее представление (7) в виде5

на Q, либо функции, пропорциональные G*„.

Доказательство. Если w — минимальная функция на Q, то ее сужение на будет минимальной функ­ цией для Q[. Действительно, всякая ңеотрицательная

^60 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

гармоническая миноранта на Q| допускает гармони­ ческое продолжение на Q, являющееся минорантой для w и, следовательно, пропорциональное w.

Рассмотрим любую неотрицательную гармониче­ скую функцию и на Qi и для ее супергармонического продолжения й на Q запишем представление Рисса

й = XGXo+ V ^ О,

где V—гармоническая функция. При этом Х ^ О , ѵ ^ О . Если k ^ G .v,, то v ^ G Xa на Q| и, значит, на Q. Сле­ довательно, о = 0, ti — XGXa и функция Gx„ мини­ мальна на Q].

Предположим теперь, что функция и минимальна на Q,. Если и ограничена вблизи ,ѵ0, то Л = 0 и функ­ ция й гармонична и обязательно минимальна на Q, так как любая ее гармоническая миноранта будет пропорциональна ей на Qi и, следовательно, на Q. Если же и неограничеиа, то ее миноранта о должна быть пропорциональна и и, следовательно, равна нулю, так что u = XGXt.

Есть более сложное доказательство, использую­ щее результаты о поведении функций, гармонических

работы Ханта и Уидена [1, 2], о которых будет ска­ зано ниже (гл. X V II, § 4).

Важно подчеркнуть, что в R2 или на римановой поверхности всякое конформное преобразование со­ храняет функцию Грина и, значит, ядро К{ х, у). Так

как односвязная область со, граница которой в R2 содержит более одной точки, может быть конформно отображена на открытый круг, то пространство Мар­ тина для такой области со гомеоморфно евклидову замыканию круга, а граница Мартина совпадает

смножеством простых концов Каратеодори.

Вобщем случае для произвольной евклидовой области Грина топология Мартина, как показывают примеры (Мартин [1], Брело [12]), несравнима с евкли­ довой топологией. Напомним пример области в R3,

атакже успех нового понятия,

7.Другая характеризация пространства Мартина (краткие указания). Рассмотрим пространство Грина Й,

конус 5 + неотрицательных супергармонических функ­ ций и линейное пространство 5 разностей этих функ­ ций. Точнее (см. гл. XI), мы рассматриваем множе­

ство пар (и, ü), где и, о е S +, и вводим отношение эквивалентности в этом множестве следующим обра­

стороны равенства определены лишь квазивсюду). Класс эквивалентности, отвечающий (и, ѵ), обозначим через [и, ѵ\. Тогда S является множеством этих

классов эквивалентности, а 5 + находится во взаимно однозначном соответствии с множеством классов

[и, 0]. Как мы уже упоминали, 5 + является полной решеткой относительно порядка, порождаемого самим

конусом S + (специальный порядок) (это может быть

152 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

доказано без использования теоремы Рисса о пред­

ставлении), и существует топология на S, в которой S + локально компактно. Сейчас нам достоточно ввести счетный базис регулярных областей со* и счетное всюду плотное множество точек х {. Тогда [и, о] і—>

J ° rf p?j есть полунорма, и эти полунормы

определяют топологию (не зависящую от выбора со,-, x s). Таким образом, у конуса S + существует компактное метризуемое основание В, например определяемое

точка уд фиксирована) (см. Брело [19], Эрве [1]). Мы уже видели, что, используя теорему Шоке, можно (даже в рамках аксиоматической теории) прийти к представлению любой неотрицательной супергармо­ нической функции в виде

вести, что крайние элементы множества В совпадают

ций %xG(x, у)), и его замыкание Е в В гомеоморфны Q и Q соответственно.

Доказательство. Что касается первого утвержде­ ния, то см. Брело [18] и Гаурисанкаран [1]. Далее,

мы видим, что Е гомеоморфно некоторому компакту Q, в котором Q плотно. Для последовательности функ­ ций из В, гармонических в открытом множестве со, сходимость в В влечет за собой сходимость в каждой

точке со. Следовательно, Q удовлетворяет всем уело-