Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf

ограничений на гармоническую функцию и налагать вообще не нужно вследствие некоторых специальных свойств разреженности в R2. Изложенные выше ре­ зультаты применимы к функциям, определенным лишь

ной V ) ) .

Отметим важный контрпример Шоке, который показывает, что положительная гармоническая в полу­ плоскости функция может иметь угловой предел

вточке х0, но не иметь тонкого предела.

Вработе Брело и Дуба изучались также обрат­ ные статистические свойства. Например, для произ­ вольной функции со значениями в компактном метри­ ческом пространстве существование углового предела во всех точках множества е cz до влечет за собой существование почти всюду (по мере Лебега) на е равного ему (минимального) тонкого предела.

Было бы интересно провести сравнение тонких и

странство со, область Штольца 8 с вершиной х0е да

ние некоторого открытого конуса вращения, содержащегося вместе со своим замыканием (но без точки х0) в полупро­ странстве, с некоторым шаром с центром х0.

200Ч. 2. Граничные теории и Минимальная разреженность

Вкачестве приложения дать другое доказатель­ ство следующей части предыдущей теоремы:

2)Если «//г имеет в точке „v0 тонкий (или полу-

тонкий) предел X (и, Іг — положительные гармониче­ ские функции в со), то существует равный ему угло­ вой предел.

. (Указание. Если А, = + оо, то на І'р отношение' и/Іі стремится к + оо. Если же X конечно, то и/Іі остается ограниченным в любой области Штольца и стремится к X вне некоторого открытого полуразреженного мно­ жества е. Введем функцию и', равную и вне е и Xh

на е, и затем рассмотрим функцию и — н'/1. Исполь­

зуя упражнение 1), показать, что частное от деления этой функции на /г стремится к нулю на Гр, откуда и вытекает искомый результат.)

П р и м е н е н и е к р а н н е й т е о р е м е Ф а т у .

предел отношения ujh существует рл-почти всюду на гиперплоскости да. (Если h = 1, как в первоначаль­ ном случае Фату, то понятие „щ-почти всюду“ совпа­

ное Кальдероном и Карлесоном, было далее уточнено Дубом (см. Брело и Дуб [1]) следующим образом: пусть h — по-прежнему положительная функция, гар­ моническая в полупространстве, а и — функция, гар­ моническая в открытом множестве со0сгсо; предполо­ жим, что со0 содержит переменную общую область Штольца, вершина которой описывает некоторое гра­ ничное множество е а да. Пусть отношение ti/h в ка­ ждой такой области ограничено либо сверху, либо снизу в зависимости от положения вершины. Тогда и//г имеет конечный угловой предел на е, если исклю­ чить множество лебеговой меры нуль и множество р.л-меры нуль.

В а ж н о е з а м е ч а н и е . Для супергармонических функций аналогичного свойства нет. См. контрпример Зигмунда (в R2 для /г— 1) у Толстеда [1]. Это пока­ зывает преимущество и силу понятия тонкого предела.

О б о б щ е н и е на с л у ч а й л и п ш и ц е в ы х о б ­

в каждой граничной точке имеют внутренний и внеш­ ний конусы Штольца) более сложные в техническом отношении рассуждения приводят к следующим важ­ ным результатам: евклидово замыкание такой области

гомеоморфно пространству Мартина Q (причем все его граничные точки минимальны); теорема X V II. 9 допускает при /г = 1, обобщение при соответствующем определении минимальной полуразреженности и угло­ вого предела. Отсюда получается и обобщение тео­ ремы Фату (которое можно доказать также непосред­ ственно).

5. Сравнение угловых, тонких и нормальных пределов (краткие указания). Дубу [7] удалось вы­ вести из своей общей теоремы о тонких пределах классические результаты о нормальных пределах и тем самым продвинуться далее в этом круге вопросов.

Рассмотрим сначала множество А в полупростран­ стве ш cz R". Нормальной предельной точкой х0 мно­ жества А называется точка из кЗсо, принадлежащая евклидовому замыканию множества ЛПШс0І где пч — нормаль к да в точке х0. Для почти всех (по мере Лебега на да) таких точек х0 множество А будет (минимально) неразрежено в х0 (т. е. х0 является (минимальной) тонкой предельной точкой А) ‘).

Рассмотрим теперь функцию f на .а со значениями в компактном метрическом пространстве Е и обозна­ чим через ЛД0, Л.*„, F x, предельные множества функции f

') Доказательство Дуба сложно. Из приведенного резуль­ тата следует аналогичное свойство с обычной разреженностью (в IR”). Отметим, что последнее свойство (даже для произволь­ ного е а R'1) доказывается проще непосредственно, причем пря­ мое доказательство дает даже „квазивсюду на д а “ вместо „почти всюду на

имеем Nx„ с : F Xa,- это показывает, что из существова­ ния почти всюду тонкого предела следует существо­ вание почти всюду равного ему нормального предела.

Если функция f супергармонична, то можно полу­ чить больше: в этом случае £ = [— оо, -|-°°] и для всех точек х0 на да, исключая множество лебеговой меры нуль, имеем либо

о.) — оо s F Xaст /1Л-0,

либо ß) существуют конечный тонкий предел и равный

ему нормальный предел, хотя углового предела может и не быть.

Если f — супергармоническая функция с гармони­ ческой минорантой и ^ 0, то эта миноранта имеет конечный тонкий предел почти всюду на <3(о и слу­ чай а) исключается. Следовательно, f имеет нормаль­ ный предел почти всюду. Это эквивалентно класси­

жения к теории функций Дуб получил следующее уточнение классической теоремы Плеснера. Если f — мероморфная функция в полуплоскости со, то, как доказал Плеснер, почти всюду либо

а) А Хй есть расширенная плоскость, либо

ß) А х, состоит из одной точки (т. е. имеется угло­ вой предел)').

Дуб показал, что если исключить еще одно мно­ жество меры нуль на дсо, то можно утверждать боль­ шее: случай а) разбивается на два подслучая: либо F Xa также есть расширенная плоскость, либо FXt и ЛД, сводятся к одной и той же точке. Далее, ß) допол-

]) Отметим, что (даже для функций {, принимающих зна­ чения в произвольном компактном метрическом пространстве Е )

почти всюду совпадает с предельным множеством в любой области Штольца.