Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 93

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

194 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

(в области Штольца) эквивалентна тому, что у“ —:► О, Согласно Джексону, первое условие влечет второе.

d)В любом пространстве Грина Q минимальная

полуразреженность множества е в точке І е Д, может быть определена следующим образом. Поло­

жим

(л: ІДх {x)IG%(x)

и

потребуем,

чтобы

в ы п о л н я л о с ь

одно из условий:

 

 

а)

RxaJ

■ О (А-*■ оо) (Брело — Дуб),

 

 

Уа

 

 

 

 

 

q \

D ° t P \

° іР + І) П е

О (р-> оо),

 

 

Р/

 

 

 

 

 

 

 

t >

1 (Дуб, неопубликовано).

Доказать

их эквивалентность

и провести

сравне­

ние с понятием разреженности. Показать согласован­ ность этих определений с определениями, введенными в Ь) для случая полупространства в Rn.

Нетрудно в предыдущих примерах заменить об­ ласть оз на ее пересечение с шаром с' центром х0. Желательно было бы, однако, обобщить эти резуль­ таты по крайней мере на случай ограниченных регу­ лярных областей, у которых евклидова граница со­ впадает с границей Мартина.

У п р а з к н е н и е .

Для такого рода областей Q,

регулярных хотя бы

только в одной точке X е <3Q,

существование двух

шаров, касающихся друг, друга

в точке X и лежащих соответственно внутри и вне

области, позволяет

заключить, что разреженность

(соотв. полуразреженность) в' X влечет за собой мини­ мальную разреженность (соотв. минимальную полу­ разреженность).3

3. Сравнение статистических типов разрежен­ ности. (См. Брело [26, 27].) Так как неизвестно, верны ли результаты п. 2 для общих областей, то мы рассмотрим здесь некоторые более слабые утвер­ ждения, остающиеся верными и в аксиоматических теориях.

О п р е д е л е н и е XVTI.6.

Рассмотрим

область

аз

в пространстве Грина й и

граничную

точку

х0

 

Гл. X V II. Сравнение двух типов разреженности

■ 195

области со в Q. Минимальная точка X границы Мар­

тина

области

со (т. е. X е Л,) называется связанной

с х0,

если для

любой окрестности б точки х0 множе­

ство со \ б минимально разрежено в X , т. е. (б Г) со) U № есть тонкая окрестность точки X (другое эквивалент­ ное условие (Наим [1]); х0 есть единственный „полюс“

для

X).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

X V II. 7.

Если

множество е с

со \-ста-

тистически

разрежено

на

а cz дез П П (например,

раз­

режено в каждой точке а), то оно 1-статистич'гски

минимально разрежено на множестве Е точек из А?,

связанных с точками множества а.

 

 

 

Доказательство.

Если б — переменная окрестность

множества а, то семейство {6f]e} является 1-исче-

зающим в Q (теорема V III. 16) и, следовательно,

в со.

Но (б П со) U Е — тонкая

окрестность множества

Е , и

ее пересечение с е есть 6f|e. Поэтому если

V — пере­

менная

 

тонкая

окрестность Е

в со — со (J А?,

то семей­

ство (ѴПе) будет

 

1-исчезающим, и отсюда следует,

что

е

минимально

тонко

разрежено рг почти всюду

на Е (теорема XV . 16).

 

 

 

 

 

 

 

О б о б щ е н и е .

 

Пусть

W — положительная супер­

гармоническая

функции

в Q,

а

Н — ее положитель­

ная гармоническая миноранта в со. Если множество е

^-статистически

разрежено

на

асгдсоПП, то

оно

Н-статистически разрежено на Е (множестве точек

нийД,

“ >

связанных

с точками множества

а ) .

 

 

из

 

 

 

 

 

Это устанавливается с помощью тех же рассужде­

 

что и

в гл. X V , п. 5.

 

 

 

 

 

4.

 

Угловые

 

(некасательные) пределы и тонкие

пределы для функций, гармонических в полупро­

странстве

со

R".

 

Рассмотрим

(для определенности

вещественную) функцию f в полупространстве со и

граничную

точку

х0. Число К называют некасатель­

ным (или

угловым)

пределом функции f в точке х0,

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если f - > \

(в евклидовой топологии) в любой области

Штольца с вершиной в ,г0; число %называется угловой

предельной

точкой

функции

f,

если f{xn)^ -K

для

7*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

196 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

некоторой последовательности хЛ-> х й, лежащей в об­ ласти Штольца.

Мы уже рассматривали множества в со, полностью касательные в точке х0, т. е. такие, что 6_s/| х — х0|-> О,

і ' Е е ,

х - + х 0. Дополнения

таких множеств относи­

тельно

со образуют фильтр

Приведенные выше

угловые понятия (предела, предельной точки) экви­ валентны понятиям предела и предельной точки по

фильтру %х0 (замечание Дуба).

Мы будем также рассматривать фильтры Z'Xo, £*„, образованные дополнениями относительно со множеств (минимально) разреженных, соответственно полуразреженных в точке х0. Этим фильтрам отвечают, как нам известно, понятия (минимального) тонкого предела и полутонкого предела. Кроме того, мы знаем, что первое из этих понятий эквивалентно понятию евкли­ дова предела вне некоторого разреженного множества, и можно показать, что аналогичное положение имеет место для полутонких пределов и полуразреженных множеств.

Отметим, что фильтр Z? тоньше, чем

и чем %а

(см. упражнение Ь) из п. 2).

 

Л е м м а X V II. 8. Рассмотрим в полупространстве и переменный шар Вх с центром в х радиуса Rx = аб*, где 0 < а < 1 фиксировано. Тогда для фиксированных точек у0е со, х0е да> имеем

lim inf № (і/ о )/ бГ ' ) > 0 -

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда вектор ха— у0 ортогонален к гиперплоскости <Эсо

и X лежит на той же

нормали, что х0 и у0. Если а х

есть полупространство

{г/|бу > бДсгсо, то R^x (y^) мажо­

рирует гармоническую меру дах (] Вх относительно со* в точке г/g. Последняя с точностью до множителя

совпадает с Rx~l или б.?-1.

Классические результаты типа теоремы Фату о существовании почти всюду угловых или нормаль­ ных пределов у гармонических и супергармонических

Гл. X V II. Сравнение двух типов разреженности

197

функций (Кальдерон, Стейн, Зигмунд) могут быть получены из следующей общей теоремы о тонких пределах.

Т е о р е м а

X V II. 9

(Брело

и Дуб [1], Константи-

неску и Корня [1]). Пусть

и

и h — две строго поло­

скательные гармонические

функции

в полупростран­

стве со (или

только

в некоторой

окрестности его

граничной точки х0е R"). Всякая угловая предельная точка отношения и//г в х0 является также (минимально) тонкой и даоке полутонкой предельной точкой. Сле­ довательно, существование тонкого предела влечет за собой существование углового предела. Существо­ вание углового равносильно существованию полутонкого предела.

Доказательство. Рассмотрим последовательность хр—>хо, принадлежащую области Штольца ^ с со, такую, что u(Xp)/h(xp)^ -X (этот предел будем считать

конечным; в случае когда он бесконечен, рассуждения аналогичны). Задавшись числом е > 0, мы построим последовательность шаров Вр с центрами хр, принад­

лежащих некоторой большей области Штольца W2,

причем так,

чтобы на всех шарах с номерами р >

р0

(где ро зависит

от е)

выполнялось неравенство

I (и//г) — %I <

е и

чтобы

объединение этих шаров

не

было разреженным и даже полуразреженным. Тогда любое множество из фильтра Хт или Xs будет содер­ жать точку, где I («//г) — X | < е, откуда и будет сле­ довать, что всякая угловая предельная точка является и полутонкой предельной точкой.

Напомним, что если w пробегает множество всех положительных гармонических функций в шаре с цент­

ром х0 радиуса р, а х

пробегает концентрический шар

радиуса ар, то

величина

 

 

 

 

Ѳ (а) - s u p

(sup - J $ )

 

не зависит

от

р

и удовлетворяет

соотношению

Ііш Ѳ (а) = 1

(следствие

классического

неравенства

а -» О

 

 

 

 

 

Г арнака).

198 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

Возвращаясь к нашей последовательности хр, вы­ берем сначала р0 так, чтобы при р > р0 иметь

еК (Хр)

Я — т < h (.Гр) < Я + Т 1

а затем возьмем в %?2 шар В'р с центром хр и радиу­

сом

pp = ßö.Vp,

где

ß — фиксированное

достаточно

малое

число.

Тогда

в концентрическом

шаре В"р ра­

диуса арр = сф6д;р (а < 1) мы будем иметь

X — тг

Ѳ2(а) < т < Н { Ѳ2(а)

Выбрав подходящим образом число а (оно не зависит от р, как и ß), мы получим, что в каждом шаре В"р

(р > Ро)

 

 

 

 

 

 

X — 6

 

-д <С Я "Т- а*

 

Согласно предыдущей лемме, R^p(y0) >

(где К

не зависит от р). Так

как Кх, (х) сх.

на В'р, то

 

inf R bp (у 0) > 1) > 0.

 

 

 

ЧѴ

 

 

 

Каждый шар В'р

пересекает лишь конечное число ѵр

 

 

0

 

 

множеств /р, причем

ѵр^ ѵ независимо от р (в силу

соображений подобия).

 

Если і — одно

из этих пере­

сечений, то R ‘K (уо) >

— , Таким образом, существуют

произвольно большие д, для которых

 

 

и

W

_

 

 

R K>p p °

 

( У о ) > % .

 

 

хо

 

 

 

 

Это показывает, что при

q -> co левая

часть не стре­

мится к нулю, и поэтому множество

( J В"р неразре-

жено и даже неполуразрежено. Шары В"р и являются,

•таким образом, искомыми шарами Вр.

Итак, существование полутонкого предела у ujh влечет за собой существование углового. Обратное очевидно, поскольку фильтр тоньше, чем Xs.

Смотрите также файлы