Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 97
Скачиваний: 0
190 Ч. 2. Граничные |
теории и минимальная |
разреокенность |
||
Л е м м а X V I I .3 (Наим). В обозначениях предыду |
||||
щей леммы для всякого множества е с : |
со |
|||
( Ч |
= ( Ч |
+ № |
на |
со. |
“ |
\ °лѵа |
|
|
|
Доказательство. Для любой неотрицательной су пергармонической на Q функции и, которая мажори
рует G® на е (J Ссо, имеем и — R^u ^ 0 , и на е эта раз-
Х 0 |
|
ность мажорирует U . Поэтому и — R qQ |
на со, |
и левая часть доказываемого равенства мажорирует
правую. ^Обратно, функция |
U u |
равная |
на со |
сумме |
||
(*:) + Щр. и |
продолженная |
на Ссо как О” , |
такова, |
|||
w ^ |
л"а |
|
|
f |
|
|
что U , есть неотрицательная супергармоническая |
||||||
функция |
в Q |
(даже потенциал). |
Это |
доказывается |
||
теми же рассуждениями, что и в начале доказа тельства предыдущей леммы. Но Н, мажорирует G*„
квазивсюду |
на е U Ссо и |
потому |
мажорирует также |
||||
. Следовательно, то же верно для £/,. |
|||||||
Т е о р е м а X V II. 4 |
(Наим [1]). Рассмотрим прост |
||||||
ранство Грина Q и в нем |
область со |
с иррегулярной |
|||||
{и значит, полярной) |
граничной |
точкой х0е |
Q. Раз |
||||
реженность |
множества е сг со в точке xQ в Й |
эквива |
|||||
лентна минимальной |
разреженности |
относительно |
|||||
минимальной функции G9' |
— Р'Го |
в со, т. е. |
разрежен- |
||||
|
|
•'о |
и.. |
|
|
|
|
|
|
|
А© |
границы |
Мартина. |
||
ности в соответствующей точке Х 0 |
|||||||
Иными |
словами, |
соответствие между |
простран |
||||
ствами co(J(.T0) и co(J{Vol, снабженными тонкой и минимальной тонкой топологиями, определяемое то
ждественным отображением |
на со |
и |
соответствием |
|
х0-^->Х0, есть гомеоморфизм. |
|
|
|
|
Доказательство. Если е разрежено, |
то в силу раз |
|||
реженности |
Ссо множество 'e 0 Ссо будет также раз |
|||
режено в xQ, |
так что (R e}iCa\ |
Ф й 9 . |
Если бы равен- |
|
ство соблюдалось всюду на со, то оно имело бы место
Г л . |
X V I I . |
С р а вн ен и е д в у х типов разреж енност и |
191 |
|
квазивсюду |
на |
со U Ссо = Q и, |
следовательно, |
всюду. |
Поэтому существует точка х х, |
где ( ^ ) а + |
Ф G“ |
||
т- *• |
|
|
(*,)= [/ (*,). Но' |
это й |
означает минимальную разреженность. Обратно, из
минимальной разреженности следует, |
что {Яц)а Ф U |
||||
в некоторой точке х2«= со. Поэтому І^ аС“ (*2) Ф |
G*o(х^г |
||||
т. е. имеет место |
разреженность |
Хо |
|
е U Ссо |
|
множества |
|||||
и, значит, множества е. |
|
|
|
|
|
У п р а ж н е н и е . |
Предположим, |
что е разрежено |
|||
в х0. Тогда І?°е |
есть |
наибольшая |
гармоническая |
||
М |
|
|
|
|
|
миноранта для ReQq |
в со и , |
следовательно, Щр. — / с “ |
|||
* X* |
|
|
|
Arg |
VO |
|
|
|
|
|
|
есть потенциал в со. Отсюда вытекает минимальная разреженность множества е (отметим, что лемма 3 здесь не используется).
2. Примеры в полупространстве со пространства R”. (В основном по Лелон [1].) Евклидово замыкание области со в компактификации Александрова про странства R" совпадает с пространством Мартина 6.
Те о |
р . е ма X V I I .5. |
Рассмотрим в полупростран |
||
стве о |
с R" |
(я |
3) |
н о р м а л ь н у ю о б л а с ть |
Ш т о л ь ц а |
W Ф а, |
т. |
е. часть открытого конуса |
|
вращения с вершиной в х0е <Зсо и осью, перпендику лярной гиперплоскости да, принадлежащую некото
рому шару |
с центром х0. Тогда разреженность мно |
||||||||
жества е c z ff |
в х0 |
в пространстве |
Rn эквивалентна |
||||||
его. минимальной разрезюенности в х0 в со. |
|
|
|||||||
Доказательство. |
Введем |
множества |
Ір = |
{sp+i < |
|||||
< I * — х0К |
sp}, 0 < |
s < |
1, |
Ip = Ір П e. Критерий раз |
|||||
реженности |
множества |
е |
можно |
записать |
в |
виде |
|||
2 v P/sp(n~2) < |
+ оо |
(где |
ур — внешняя |
емкость |
мно- |
||||
р |
е|Ѵр в R ). |
Это несколько |
видоизменен |
||||||
жества ер = |
|||||||||
ная форма общего критерия Винера (теорема IX . 10).
192 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность
Введем следующее обозначение. Пусть ср, -ф— ве щественные переменные, определяемые некоторыми условиями (например, зависящие от переменной р, изменяющейся в некоторой заданной области). Бу дем называть их сравнимыми и писать ср ~ ф, если отношение ф/ф для всех значений р, где оно имеет смысл, содержится между двумя фиксированными положительными числами (не зависящими от р).
Элементарный расчет показывает, что |
в случае Rn |
|||
( я ^ З ) |
внешняя гринова емкость у“ подмножества ер |
|||
в со сравнима с ур |
(переменная р). Это |
вытекает из |
||
того, что \X — у |-(п_2)/ G“ (.v:, у) ~ |
1 для х |
и у, меняю |
||
щихся |
в /р П 'S7 (при переменном |
р). Предположим, |
||
что е |
разрежено. |
Тогда ряд 2 |
уш/5р («-2) сходится. |
|
|
|
р |
р |
|
Далее, |
у“ есть полная мера, отвечающая (ЯІр)а- При |
|||
- ѵ е ? ’ имеем G“, (х) ~ öx ~ | х — х0 1, где öx — расстояние
от переменной точки .ѵ до дш. Эта |
величина на /р П 9? |
|||||
сравнима с |
sp |
(переменная р). |
Таким образом, |
|||
|
|
|
|
|
|
( n e - |
ременная р). Но |
на Ір имеем К х„ {х) ~ |
6Х\х — хп \ п~ |
||||
~ 5 -р(л-і) |
(переменная р). Следовательно, ряд |
|||||
2 R Kpe |
(у0) |
сходится, |
так что |
2 |
(р0) —>0 при |
|
N - * ° o , |
и R Knx{ix~x°i<r\e |
y 0)-+ 0 при г —>0. Отсюда мы |
||||
заключаем, что е минимально разрежено.
Обратное утверждение является следствием сходи
мости ряда 2 ЯкР (£/0)> которая эквивалентна мини-
П
мальнои разреженности согласно критерию типа Винера, приведенному ниже в упражнении а).
Д о п о л н е н и я . Как показала Лелон [1], указан ная в теореме эквивалентность не имеет места для произвольного множества e c u 1); однако разрежен
’ ) Существуют (даже при п ^ 2 ) минимально разреженные множества, не являющиеся разреженными; это вытекает, напри мер, из неразреженности замыкания следующего множества: шара, из которого удален меньший шар, касающийся первого в точке л'0>
Гл. X V II. Сравнение двух типов разреженности |
193 |
ность всегда влечет за собой минимальную разрежен ность (Шоке).
Случай R2 более труден для исследования; послед нее утверждение по-прежнему верно для любого е с в 1) (Джексон [1]), обратное утверждение снова неверно.
Иными словами, тождественное отображение под множества coU{*o} в Кд (,г^ 2 ), наделенного мини мальной тонкой топологией, в то же множество, наделенное тонкой топологией, непрерывно, обрат ное же отображение нет.
Дальнейшие результаты см. в |
Лелон [1], Брело |
|
и Дуб [1], Наим [1], |
Джексон [1]. |
|
У п р а ж н е н и я , |
а) Критерий |
минимальной раз |
реженности подмножества е полупространства оас=Кя
( п ^ 2) состоит |
в сходимости |
ряда |
2 К ^ 'р(у Х при |
|||
|
|
|
р |
A .t0 |
' |
и' |
|
|
|
|
|
|
|
прежнем определении множеств І р |
(Лелон, |
Наим). |
||||
В случае R2 для |
множества е, |
лежащего |
в |
области |
||
Штольца, другой, очевидно эквивалентный критерий
состоит в сходимости |
ряда 2 "Ѵ„- |
|
||||
|
G m . |
также некоторые |
р |
р |
приложения |
|
в |
примеры и |
|||||
|
статье Брело и Дуб [1]. |
|
|
|
||
|
b) Снова при п ^ 2 |
и |
при |
тех же |
обозначениях |
|
определим минимальную полуразреженность условием
Кекх‘ р (Уо) |
0 (не зависящим от s и г/0). |
Тогда множе |
|||
ство |
е, |
для |
которого |
дх/\ х — х0|—>0 |
( х е е, х - + х 0), |
будет |
минимально полуразреженным. |
|
|||
c) |
В |
случае R” |
(п ^ 2 ) полуразреженность е |
||
(см. гл. IX, |
п. 6) влечет за собой минимальную полу- |
||||
разреженность в со. |
|
|
|||
Это можно вывести из справедливости этого факта |
|||||
для случая множеств е, |
лежащих в области Штольца. |
|||||
В |
этом |
случае мы используем при п ^ З |
сравнимость |
|||
ур ~ |
у“ |
и |
заключаем, |
что ypjs p(n~2)~ |
• |
|
При |
п = 2 |
полуразреженность означает, |
что рур—>0, |
|||
в |
то |
|
время как минимальная полуразреженность |
|||
*) Этим опровергается утверждение о несравнимости обоих видов разреженности, высказанное без доказательства Лелон,
7 М. Брело