ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 88
Скачиваний: 0
142 |
Часть II. количественная |
теория ядерных сил |
Силы типа Барпыетта. Для системы, состоящей из двух частиц, спиновая волновая функция является сим метричной относительно спиновых координат частиц, если полный спин 5 = 1 , и антисимметричной, если S = 0. Поэтому уравнение Шредингера (15.4) в случае сил типа Бартлетта можно записать в виде
(•5J-^a-r ^ ) ф ( г ) = ( - 1 ) 8 + 1 У ( г ) ф ( г ) . |
(15.7) |
Оно эквивалентно уравнению с обычным потенциалом, с
различными знаками при S = 0 и S = 1. Поскольку |
из дан |
|
ных по рассеянию нейтронов протонами мы знаем, |
что в 3 S-, |
|
и в ^-состояниях действуют силы притяжения, |
то |
ядерные |
силы не могут быть полностью силами типа Бартлетта. Силы типа Гейзенберга. Комбинируя результаты,
относящиеся к силам типа Майорана и Бартлетта, можно
записать |
уравнение Шредингера |
(15.5) |
для сил типа |
Гей |
|
зенберга |
в следующей |
форме: |
|
|
|
|
V* + £ ) |
ф (г) = |
( - I)1 |
V (г) ф (г). |
(15.8) |
Оно эквивалентно уравнению с обыкновенным |
потенциалом, |
||||||||||||
меняющим |
знак |
в зависимости |
от того, четно |
или |
нечетно |
||||||||
1 + S. |
Например, эффективные |
потенциалы |
таковы: |
||||||||||
Состояние |
|
|
3S |
*S |
|
|
3Р |
1Р, |
|
|
|||
Потенциал |
+V(r) |
-V(r) |
|
-V(r) |
-\-V(r). |
|
( l 5 ' 9 ) |
||||||
Различие |
знаков |
потенциалов |
для 3 5- и г 5 - состояний, |
||||||||||
как |
и в случае |
сил типа Бартлетта, показывает, |
что ядер |
||||||||||
ные |
силы |
не |
могут |
быть |
полностью силами |
типа |
Гейзен |
||||||
берга. Если предположить, |
что |
взаимодействие |
является, |
||||||||||
грубо |
говоря, |
на 25% взаимодействием типа |
Гейзенберга |
||||||||||
или Бартлетта и на 75% взаимодействием типа Вигнера или Майорана, то можно объяснить разное взаимодействие
нейтрона с протоном |
в 3 5- и х 5- состояниях. |
|
|
Обменные |
силы |
и насыщение. Спин-обменные |
силы |
типа Бартлетта |
не приводят к насыщению энергии |
связи, |
|
отнесенной к одной частице. Если бы ядерные силы были силами типа Бартлетта, то существовали бы тяжелые ядра, в которых спины всех частиц имели бы одинаковое на правление, а число взаимодействующих пар частиц было
|
§ 15. |
Насыщение |
ядерных |
сил |
|
143 |
||
бы равно А{А —1)/2, |
что означает |
энергию связи, |
пропор |
|||||
циональную |
по крайней мере |
А2. |
|
|
|
|
||
Силы же |
типа Майорана |
или Гейзенберга |
благодаря |
|||||
зависимости |
знака |
потенциала |
от |
/ |
приводят |
к |
насыще |
|
нию. Предположим, например, что ядерные силы являются силами типа Майорана. (Мы уже знаем, что взаимодейст вие типа Гейзенберга составляет не более 25% суммарного,
взаимодействия.) |
Насыщение не должно проявляться у |
|
ядер до Не4 , |
потому |
что пространственная волновая |
функция Не4 может быть |
симметричной по отношению ко |
|
всем четырем частицам без нарушения принципа Паули. При этом лишь требуется, чтобы спины двух нейтронов были антипараллельны между собой (волновая функция
антисимметрична |
относительно |
спиновых |
координат |
двух |
|||||
нейтронов); то же самое требуется и для |
двух |
протонов. |
|||||||
Таким |
образом, |
введение сил типа Майорана оставляет |
|||||||
в силе |
гипотезу |
Вигнера |
о малом |
радиусе |
действия |
сил, |
|||
основанную на энергиях |
связи |
Не4 |
и более |
легких |
ядер. |
||||
В следующем |
ядре, Не5 или |
L i 5 |
, принцип |
Паули |
уже |
||||
не может удовлетворяться за счет |
только |
спиновой |
вол |
||||||
новой |
функции. |
Поэтому |
волновая |
функция |
пространст |
||||
венных координат должна иметь по крайней мере один узел. Другими словами, только четыре частицы могут одновременно находиться в s-состоянии; пятая частица находится в р-состоянии и поэтому отталкивается осталь ными. Таким образом, Не5 и L i 5 должны быть неустой чивыми, что и оправдывается на опыте. Это является первым признаком насыщения.
Для исследования насыщения в тяжелых ядрах можно применить тот же вариационный метод, при помощи ко торого в начале этого параграфа было показано, что обыкновенные силы не дают насыщения. Эти вычисления в случае сил типа Майорана не приводят к ненасыщению. Однако вариационным методом нельзя доказать, что силы типа Майорана приводят к насыщению, так как этим методом можно получить лишь значение энергии, превы шающее истинную энергию связи. Вигнер [53] дал допол нительные аргументы в пользу того, что явление насы щения получается при пространственно-обменных силах типа Майорана. Пространственно-обменная часть сил типа Гейзенберга также вызывает насыщение.
144 |
Часть II. Количественная теория ядерных сил |
2. СПИН И ИЗОТОПИЧЕСКИЙ СПИН
Часто удобно записывать действие обменных сил не сколько иным образом. Так как для двух частиц
|
|
а,-а., = |
-1-1 |
при |
S = l , |
|
|
|
|
||||
|
|
ff |
i • |
ст |
2 = |
о |
при |
o n |
|
|
|
v( 1 5 Л ° ) |
|
|
|
|
|
— 3 |
5 = 0, |
|
|
|
|
||||
то |
потенциал |
сил типа |
Бартлетта |
для двух |
частиц можно |
||||||||
записать в следующем |
виде: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
! |
+Vlr) |
|
при |
S = l , |
(15.11) |
||
|
i - V W ( l + , , , , ) = |
{ _v Jr J |
^ |
s |
= |
0 |
|||||||
Таким же образом можно записать |
оператор |
перестановки |
|||||||||||
спиновых координат в случае сил типа |
Гейзенберга. |
||||||||||||
|
Чтобы иметь возможность аналогичным образом изо |
||||||||||||
бражать операторы |
|
перестановки пространственных |
коорди |
||||||||||
нат |
частиц, |
введем |
понятие |
зарядовой |
|
координаты |
|||||||
частицы, т. е. будем считать нейтрон и протон двумя различными собственными состояниями одной частицы,
называемой |
нуклоном. |
Мы будем обозначать |
зарядовую |
|
координату |
символом t |
и |
дадим следующее определение: |
|
|
yW- = y |
|
для протона, |
|
|
Мт == — у |
для нейтрона, |
(15.12) |
|
Т=-7£ Для обеих частиц.
Число ± V2 употребляется для аналогии с обычными спиновыми координатами. Мы определим также зарядовые волновые функции:
Зарядовая волновая |
|
( |
Y Д л я протона, |
функция=< |
(15.13) |
||
|
|
{ о для нейтрона |
|
аналогично спиновым |
функциям |
а и р . |
|
Для согласованности с обычной теорией нуклоны должны |
|||
подчиняться статистике Ферми |
(это станет очевидным из |
||
дальнейшего). Таким |
образом, |
волновая функция двух или |
|
§ 15. Насыщение ядерных сил |
в |
145 |
большего числа частиц (включая зарядовую функцию)
<!> = Фпростр. (Г)фсшш. (о) Фзаряд. ("О |
(15.14) |
должна быть антисимметричной по отношению к переста новке всех координат двух нуклонов. Поэтому нам пона добятся симметричные и антисимметричные зарядовые функ ции двух частиц. Все четыре такие функции даны в табл. 7.
|
|
|
Таблица |
7 |
|
|
Зарядовые функции |
системы |
двух частиц |
|
|
Состоя |
Функция |
Образуе |
|
|
|
мая |
Симметрия функции |
Заряд |
|||
ние |
|||||
|
|
система |
|
|
|
I |
Т (О Т (2) |
* Не2 |
Симметричная |
2е |
|
II |
8 ( 1 ) М 2 ) |
п2 |
» |
0 |
|
III |
(l//2)h(l)8(2)+T (2)8(l)] |
Н2 |
» |
е |
|
IV |
(1/}/2)[Т (1)о(2)-т (2)о(1)] |
Н2 |
Антисимметричная |
е |
Опять по аналогии со спиновыми функциями можно ввести два квантовых числа: Т, описывающее характер симметрии зарядовой функции, и /Ит , описывающее суммарный заряд. Эти величины имеют значения, приведенные в табл. 8.
Таблица 8
Квантовые числа зарядовых состояний
Состояние |
т |
|
|
I |
|
1 |
1 |
II |
|
1 |
—1 |
III |
|
1 |
0 |
IV |
|
0 |
0 |
, По аналогии со |
спином |
значение Т = 1 в случае сим |
|
метричной функции |
и Т — 0 |
в случае |
антисимметричной |
10 Г. Бете и Ф. Моррисон
146 Часть 11. Количественная теория ядерных сил
функции. Квантовое число М т является суммой значений М^ двух нуклонов.
Влитературе принято называть t «изотопическим спином»,
Г—«суммарным изотопическим спином». М- можно назвать «составляющей -с в направлении положительного заряда».
Величина Г аналогична полному спину S, |
а Мх |
— спину |
S.. |
|||
При данном |
7 |
величина |
может принимать |
значения |
7, |
|
7 - 1 , |
— 7. |
|
|
|
|
|
Из табл. |
7 |
видно, что |
зарядовая |
волновая функция |
||
системы, состоящей из двух протонов или двух нейтронов, симметрична. Так как мы приняли, что нуклоны подчиня ются статистике Ферми, то остальная часть волновой функ ции (15.14) должна быть антисимметричной; это означает,
что |
протоны |
и |
нейтроны |
подчиняются |
статистике |
Ферми |
|||||||||
без |
включения |
зарядовой |
координаты. |
В |
системе, |
состоя |
|||||||||
щей из протона и нейтрона, |
зарядовая функция может |
быть |
|||||||||||||
как |
симметричной, |
так |
|
и |
антисимметричной; |
это |
же |
||||||||
относится и к остальной части волновой |
функции. |
Таким |
|||||||||||||
образом, трактовка |
протона |
и |
нейтрона |
как |
двух |
состоя |
|||||||||
ний одной и той же частицы не приводит |
к |
дополнитель |
|||||||||||||
ным ограничениям по сравнению с обычной теорией. |
|
||||||||||||||
|
Удобно также ввести по аналогии с оператором спина а |
||||||||||||||
оператор т, определяемый по его действию на |
«зарядовую |
||||||||||||||
координату» Mr:1). |
По |
аналогии |
со |
спином |
собственные |
||||||||||
значения квадрата |
модуля |
этого оператора |
равны |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|-ср = |
4 7 ( 7 + 1 ) . |
|
|
|
(15.15) |
||||||
Опять-таки, как в |
случае |
спина, |
в |
системе, состоящей |
|||||||||||
из |
двух нуклонов, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
тг • То = |
+ |
о |
1 |
при |
7 = 1 , |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
при |
т |
|
п |
|
|
( 1 |
5 Л 6 ) |
|
|
|
|
т 1 - т 2 = — 3 |
|
7 = |
0. |
|
|
|
|
|||||
Взаимодействие |
типа Гейзенберга |
можно, записать |
теперь |
||||||||||||
[включая в |
V (г) множитель |
— 1 ] в виде |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
! v ( r ) ( l + V T a ) . |
|
|
|
|
(15.17) |
||||||
|
J ) Оператор, собственными |
значениями которого являются М, |
|||||||||||||
= ± ' / 2 > записывается |
как |
V 2 |
т. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||