Файл: Основы динамики сооружений учеб. пособие.pdf

О т м ети м , что у р а в н е н и е (4 .4 ) а н а л о г и ч н о у р а в н е н и ю (2 .4 ):

IРу

О>2у = О,

dt*,

которое является дифференциальным уравнением незатухающих свободных колебаний системы с одной степенью свободы.

В § 4 показано, что общий интеграл уравнения (4.4) можно представить в следующем виде:

где, как уже отмечалось, Х ( х ) — функция, выражающая колеба­ ния стержня в виде стоячей волны и подлежащая определению из уравнения (4.5).

Для возможности решения уравнения (4.5) необходимо знать закон изменения по длине стержня его жесткости ЕІ и интенсив­ ности распределенной массы т(х). В дальнейшем будем рассмат­ ривать только стержень постоянной жесткости и с равномерно распределенной массой.

Необходимо отметить, что дифференциальное уравнение (4.2) свободных колебаний, положенное в основу всех дальнейших исследований, является не точным, а приближенным уравнением, так как оно не учитывает инерцию поворота сечений стержня и влияние поперечных сил на прогибы стержня.

В процессе колебаний элементы стержня будут не только пере­ мещаться по нормали к оси стержня, совершая поступательное движение, но и поворачиваться. Следовательно, кроме сил инер­ ции, параллельных оси у, будут возникать еще и силы инерции, обусловленные вращением элементов стержня.

Уравнение колебаний (4.2) было получено на основе диффе­ ренциальной зависимости (4.1), учитывающей только влияние изгибающих моментов на прогиб стержня. Таким образом, не было учтено влияние поперечных сил, вызывающих сдвиги, на про­ гибы стержня.

Исследования показывают, что влияние инерции вращения и сдвигов на наименьшую частоту свободных колебаний, возникаю­ щую при одной полуволне изгиба стержня и являющуюся основной величиной при всех динамических расчетах, приводит к поправке лишь в несколько процентов. Но по мере увеличения числа полу­ волн, когда расстояние между узлами стоячих волн становится все меньше и меньше, это влияние быстро возрастает. Поправки от учета инерции вращения и сдвигов становятся все более сущест­ венными и при уменьшении длины стержня.

52

Таким образом, при точном исследовании высших форм сво­ бодных колебаний, особенно для относительно коротких стержней, нельзя уже пользоваться приближенными уравнениями (4.2). В этом случае все вычисления необходимо вести на основе более точного уравнения, учитывающего и влияние поперечной силы, и влияние инерции вращения *).

Следует, однако, указать, что при исследовании свободных колебаний стержней, входящих в состав строительных конструк­ ций, как правило, основной, расчетной частотой является наимень­ шая частота, соответствующая форме изгиба стержня с одной полуволной. В этом случае, как уже ранее указывалось, из урав­ нения (4.2) получаются достаточно точные решения. Следует еще отметить, что строительные конструкции обычно состоят из относи­ тельно длинных стержней, поперечные размеры которых малы по сравнению с их длиной. А для таких стержней при инженерных расчетах точность значений первых трех частот свободных коле­ баний является вполне приемлемой и без учета инерции враще­ ния и сдвигов. Вот почему уравнение (4.2) и было положено Е основу исследований свободных поперечных колебаний упругих стержней.

§ 14. Свободные колебания призматического стержня с равномерно распределенной массой

Для призматического стержня жесткость на изгиб ЕІ будет постоянной по длине стержня. А поскольку масса — равномерно распределенная, то и т(х) =т = const. Тогда уравнение (4.5) мож­ но будет представить в таком виде:

Для его решения составим характеристическое уравнение 24—k*— 0,

53

Сделаем переход от показательных функций к гиперболическим и тригонометрическим. Известно, что:

екх _ ch kx + sh kx\

. e~kx = chkx — sh kx-, gikx _ cos k x _j_ I gjn

e~ikx = cos kx — i sin kx.

Подставляя эти значения в выражение (а) для Х(х) и делая приведение подобных членов, имеем

дифференциального уравнения (4.10) в следующем окончательном виде:

X (л1) = С, ch kx + С2sh kx + Cs cos kx -f- C4 sin kx. (4.11)

Входящие в (4.11) постоянные интегрирования Сь С2, С3 и С4 следует определять из краевых условий в каждом конкретном случае опирания концов стержня.

Если конец стержня имеет шарнирную опору, то на этом конце должно быть

X (л) = 0 и

d2X (х) d x 2

Первое условие выражает собой отсутствие прогиба на опоре, а второе ■— отсутствие на опоре изгибающего момента.

Свободный конец стержня характеризуется отсутствием изги­

соответствующие отсутствию прогиба и угла поворота на жестко защемленном конце стержня.

Все краевые условия написаны в предположении, что к концам стержня не приложены внешние сосредоточенные силы и сосредо­

54

левого конца и два для правого. Граничные условия позволяют получить четыре однородных алгебраических уравнения относи­ тельно коэффициентов Сь С2, С3, С4.

Как известно, условием ненулевого решения системы однород­ ных уравнений является равенство нулю определителя, составлен­ ного из коэффициентов при неизвестных. Это условие позволяет получить уравнение частот для определения параметра k, зная ко­ торый, по формуле (4.9) можно будет найти и частоту свободных колебаний со. Для рассматриваемого стержня с распределенной массой, как для системы с бесконечным числом степеней свободы, уравнение частот будет давать бесчисленное множество частот со. Каждому числу п полуволн изгиба стержня будут соответствовать

Из граничных условий для данного kn могут быть также опре­ делены три соотношения между коэффициентами С1п, С2п, С3/1, Сіп,

Всего, таким образом, из четырех граничных условий мы мо­ жем определить частоты колебаний шп и для каждой частоты по три соотношения между коэффициентами С. В результате получим следующее решение уравнения (4.10):

Это выражение описывает форму колебаний, соответствующую вполне определенной частоте колебаний <оп. Заметим, что форма колебаний Х п (х) по уравнению (б) определена нами с точностью до постоянного множителя Сіп.

Учитывая выражение (б), в соответствии с формулой (4.7) по­ лучаем для дифференциального уравнения (4.2) следующее част­ ное решение, являющееся уравнением изогнутой оси стержня при его колебании с частотой ш„, т. е. при его колебании по n-ой'форме:

Уп (х, t) = {Сы ch knx + С2пsh knx + С9яcos knx +

При написании этого выражения были введены новые обозна­

нии (4.12) можно опустить, так как они были нужны только для формального вывода. В выражении (4.12) неизвестными остались коэффициенты Ап и 7„. Для их определения, как правило, исполь­ зуются начальные условия, т. е. уравнение прогиба стержня и

55

уравнение, определяющее скорости всех точек оси стержня, в на­ чальный момент времени.

Гак как к п и шп имеют бесчисленное множество значений, то частных решений уп(х, і) также будет бесчисленное множество. Общее решение дифференциального уравнения (4.2) для рассмат­

Ниже, в § 16, на примерах, в которых рассматриваются стерж;. ни с различными опорными закреплениями на концах, будет пока­ зано определение частот и форм колебаний.

§ 15. Главные формы колебаний. Ортогональность главных форм колебаний

Из курса сопротивления материалов известна следующая диф­

ференциальная зависимость между прогибом уо(х) и интенсив­ ностью нагрузки q(x):

Сопоставляя эти формулы, можно прийти к следующему вы­

существовать независимо друг от друга, и поэтому их называют главными формами колебаний.

56