Файл: Основы динамики сооружений учеб. пособие.pdf

Глава 4. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ

УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ КАК СИСТЕМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

§ 13. Дифференциальное уравнение свободных колебаний при произвольном законе распределения массы и жесткости

Рассмотрим свободные поперечные колебания прямолинейного упругого стержня с переменными по длине стержня жесткостью ЕІ и интенсивностью q(x) сплошной нагрузки. Опорные закрепления стержня могут быть любыми. На рис. 20 условно изображен стер­ жень в виде простой балки.

Будем считать, что в процессе колебаний все элементы стержня движутся поступательно по нормали к недеформированной оси стержня.

Стержень с распределенной массой представляет собой систему с бесконечным числом степеней свободы. Его положение в любой момент времени определяется упругой линией, которая при дина­ мических воздействиях является функцией двух переменных: абсциссы сечения х и времени t.

Обозначим через уо(х) статический прогиб стержня, являю­ щийся функцией только абсциссы х сечения, а через у(х, і) — отсчи­ тываемый от положения статического равновесия дополнительный прогиб, обусловленный колебаниями стержня и являющийся функ­

47

цией абсциссы сечения х и времени t. Тогда полный прогиб точек оси стержня в любой момент времени будет состоять из двух частей: уо(х) и у(х, і).

Составим дифференциальное уравнение свободных колебаний стержня. Будем считать, что колебания происходят в одной из главных плоскостей изгиба стержня и что размеры поперечных сечений стержня малы по сравнению с его длиной. Тогда для полу­ чения уравнения колебаний можно воспользоваться известной из курса сопротивления материалов дифференциальной зависимостью при изгибе:

В дифференциальных зависимостях (4.1), (а) и (б) знаки соответствуют системе координат, показанной на рис. 20.

Если стержень вывести из положения равновесия и затем пре­ доставить самому себе, то он будет совершать колебания около своего положения статического равновесия. Для составления диф­ ференциального уравнения колебаний стержня воспользуемся ме­ тодом кинетостатики. Если к реально действующим на точки систе­ мы силам добавим силы инерции, обусловленные движением то­ чек, то уравнения движения могут быть записаны в форме урав­

в сторону возрастающих у, т. е. вниз. В этом случае необходимо добавить силу инерции. Тогда получим следующее дифференциаль­ ное уравнение колебательного движения стержня:

где g — ускорение силы тяжести.

Второе слагаемое в правой части этого уравнения представ­ ляет собой силу инерции, приходящуюся на единицу длины балки. А в целом правая часть является интенсивностью сплошной на­ грузки, приложенной к стержню.

В уравнении (в) берутся частные производные по х и по t, по­ тому что у является функцией двух независимых переменных х

48

В соответствии с зависимостью (б) первое слагаемое левой части последнего выражения равно q(x) и может быть сокра­ щено с первым слагаемым правой части. Кроме того, так как ^

Обозначив массу, приходящуюся на единицу длины стержня,

,ерез » ( д г ) - г ^ , "олуши дифференциальное уравнение свобод-

пых колебаний стержня в следующем окончательном виде:

Как видим, и в случае системы с бесконечно большим числом степеней свободы статический прогиб уо не входит в дифферен­ циальное уравнение движения системы. Ордината у, характери­ зующая движение системы (стержня), отсчитывается от линии статического прогиба. Ввиду малости перемещений, у может отсчи­ тываться от недеформированного положения системы. Поэтому Е дальнейшем, так же как и в случае системы с одной степенью свободы (см. § 4), при составлении дифференциальных уравнений движения упругих систем с бесконечным числом степеней свободы статическое действие нагрузки учитывать не будем и колебание системы будем рассматривать от ее недеформированного положе­ ния. После определения усилий и деформаций от динамической нагрузки влияние статической нагрузки учитывается методом на­ ложения на основании принципа независимости действия сил.

Уравнение (4.2) — дифференциальное уравнение четвертого порядка в частных производных. Поскольку в процессе колебаний стержень находится только под воздействием распределенной по его длине массы, то полученное уравнение действительно выра­ жает собой свободные колебания.

Решая уравнение (4.2), найдем прогиб у стержня, возникаю­ щий при его колебании и отсчитываемый от положения статиче­ ского равновесия. Будем отыскивать решения уравнения (4.2) в ви­ де стоячих волн изгиба стержня. Термин стоячие волны, заимство­ ванный из физики, будет означать, что форма изгиба стержня при колебаниях каждого тона не зависит от времени, т. е. остается стабильной в любое мгновение. Каждой частоте свободных коле­ баний будут соответствовать свои стоячие волны. Так как колеба­ ния совершаются в обе стороны относительно положения равно­ весия, то стоячие волны колебаний, например для простой балки, будут иметь то или иное число п полуволн изгиба. На рис. 21 изо-

бражены формы стоячей волны с одной, двумя и тремя полу­ волнами. Такую форму, в частности, принимает колеблющаяся

собой стоячие волны, если учесть, что отношение прогибов в любой точке с абсциссой х в два произвольных мгновения t и tx должно быть величиной, зависящей только от времени t, но не от положе­ ния точки на оси стержня. Следовательно, отношение прогибов в какой-либо точке стержня в два любых мгновения можно запи­ сать в виде

= F <t) или У(х > 0 = У і(* > ti)F(t).

Поскольку z/i(x, t\) является функцией только одной независи­ мой переменной х, то можно написать у(х, t ) —f(x ) 'F{t), т. е. ин­ теграл уравнения (4.2) должен выражаться в виде произведения двух функций, из которых одна зависит только от х, а другая - только от t. Поэтому мы и будем искать решение уравнения (4.2) в следующей форме:

для всех точек стержня закон изменения во времени прогибов этих точек относительно положения стати­ ческого равновесия.

Искать решения уравнения (4.2) в форме (4.3) впервые пред­ ложил французский математик Жан Фурье (1768—1830) в 1819 г.

Решения в форме (4.3) будут давать только частные интегралы уравнения (4.2), т. е. интегралы, выражающие собой уравнение

50

стоячих волн изгиба стержня в процессе его колебаний. Полное решение уравнения (4.2) будет являться, как известно, суммой всех возможных частных решений.

Учитывая форму (4.3), частные производные, входящие в урав­ нение (4.2), можно записать так:

Тогда уравнение (4.2) получит следующий вид:

Здесь мы перешли от частных производных к полным произ­ водным, так как Х{х) зависит только от х, а T(t) только от t. Раз­ делим все члены полученного уравнения на m(x)X(x)T(t), оставим в левой части член, зависящий от х, а в правую перенесем член, зависящий от t, в результате будем иметь

Числитель и знаменатель левой части этого уравнения зависят только от X, числитель и знаменатель правой части — только от t, и тем не менее между обеими частями существует равенство, спра­ ведливое при всяких значениях х и t. Очевидно, что такое равен­ ство будет возможно только в том случае, если отношение, стоя­ щее в левой части, не зависит от х, а отношение, стоящее в пра­ вой части, не зависит от і. Но в таком случае и левая, и правая части полученного уравнения равны постоянному числу, которое мы обозначим через cd2. В дальнейшем физический смысл со2 будет выяснен. Следовательно,

Таким образом, интегрирование одного дифференциального уравнения в частных производных свелось к интегрированию двух обыкновенных дифференциальных уравнений.