Файл: Основы динамики сооружений учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 82

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

В этих

состояниях

Х п(х) — аналитическое выражение

формы

колебаний, соответствующей частоте

шЯ7

а

Х т (х) — частоте cum.

Применим к обоим состояниям теорему о взаимности работ:

 

I

 

 

I

 

 

 

 

 

J Яп(•*-) Х т (х) dx = J qm(.x) X n(X) dx.

 

 

о

 

 

0

 

 

 

 

После

подстановки

вместо

qn (х)

и qm (х) их значений

имеем

J т (■*) <°*»Хп (X) Х т (х) d x = \ m

(X) итХ2

т (х) Х п (х) dx.

 

О

 

 

 

о

 

 

 

 

Последнее равенство можно переписать в следующем виде:

 

. ,

I

 

 

 

 

 

 

 

(оы — а,*) J т (х) Х п (х) Х т (х) dx = 0.

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

Так как при пф т

шпф(вт)

то написанное выше равенство воз­

можно лишь, если

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

J т (х) Х„ (х) Х т (х) dx — 0

при

п ф т.

(4.14)

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

^

 

Состояние П

 

 

 

 

1 ТШТТгттть..

 

 

^ггГГПТ ж .

 

Состояние т

чиЦ1£ЦІ>^

__

.<— т —

---------- {

Рис. 22

Эта зависимость выражает важное свойство главных форм колебаний, которое называется свойством ортогональности глав­ ных форм. Физический смысл этого свойства, как следует из рас­ смотренного доказательства, состоит в том, что работа внешних

57

сил, вызвавших одну из главных форм колебаний, на соответст­ вующих перемещениях в другой главной форме равна нулю.

Свойство ортогональности в дальнейшем будет использовано для разложения нагрузки в бесконечный ряд по главным формам колебаний.

§ 16. Исследование свободных колебаний балок при различных опорных закреплениях

1. Колебания простой балки

Исследуем свободные поперечные колебания однопролетной балки длиной I с шарнирно опертыми концами и равномерно рас­ пределенной массой интенсивностью пг (рис. 23). Краевые условия:

d2X (X)

при х = 0 и х = 1 Х ( х ) = 0 и ■—^ —--'--=0. Эти условия выражают

отсутствие на опорах прогибов и изгибающих моментов.

m

[IE

т г

%

Рис. 23

Для определения Х{х) имеем выражение (4.11), по которому

X (х) = С1 ch kx + С2 sh kx + Cg cos k x + C4 sin kx.

Учитывая, что

sh kx = k ch kx и

ch kx = k sh kx, получаем

d2X ( x )

= k2(Cj ch kx

\- C2 sh kx — C3 cos kx — C4 sin kx).

 

v -1- —

-

r - ~ 3 -

 

 

Условие

XA(x))=0

при

 

x=0

даает<

Сі + С3 = 0.

А

из усло-

вия d2X (he)

= 0 при x = 0 получаем C\—C3 = 0. Следовательно,

d x 2

 

Cj = 0

и C3- = .

 

 

 

 

d2X

(jc)

Из условий на правом конце балки х = 1

 

0Х(х) = 0 и —-т-%— = 0 по­

лучаем

 

 

 

 

 

-

ах

 

С2 sh kl -f- С4 sin kl = 0,

(а)

C2 sh kl — C4 sin kl = 0.

Условием ненулевого решения этой системы является равен­ ство нулю определителя, составленного из коэффициентов при С2 и С4:

sh kl sin kl

0 .

sh kl — sin kl

.58

Раскрывая определитель, получаем — s h k ls m k l — s h /г/sin &/= 0

или sh kl sin kl —0.

При наличии свободных колебаний частота собственных коле­ баний ш=£0, тогда к ф 0, Ы ф 0и, следовательно, sh кІФО (рис. 24). Поэтому частотное уравнение принимает вид

sin kl -- 0.

Отсюда следует, что kl = tm, где п —1, 2, 3,. .., т. е. произволь­ ное целое число, соответствующее числу полуволн стоячей волны. Таким образом, корни трансцендентного частотного уравнения имеют значения

Пт

кП I '

Из формулы (4.9) найдем частоту свободных колебаний

[ E l

<і)=&2 у — . Подставив вместо k найденные выше значения kn,

получим формулу для определения частот колебаний

 

п

EJ

 

 

(4Л5)

 

 

m

 

 

где п= 1, 2, 3, ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, балка может

иметь

бесконечное

множество

частот, относящихся друг к другу

как квадраты целых чисел.

ТІ

. ч

 

С,

sin kl

> но

Из первого уравнения

(а)следует, что т ^= — -тгй7

 

£*

= 0,или

С4

sh кі

 

sin kl = 0, аsh kl =7^0, ипоэтому

С2 = 0.

 

 

^4

Итак, в выражении для Х(х) сохранится только последнее сла­ гаемое. В соответствии с формулами (4.12) и (б) [см. стр. 55] каж­ дому значению частоты будет соответствовать своя форма стоячей волны

ш х

*„(■*).= C^sin ~ г

59

и свое уравнение изогнутой оси балки

 

Уп (х, t) = А пsin ~ sin (<aj + т„).

(б)

Общее решение дифференциального уравнения (4.2) будет являться суммой всевозможных частных решений. Поэтому в со­

ответствии с формулой (4.13) получим

 

 

у(х, t)=r

1Ы Х

■Sin (ü>„f + т„),

(4.16)

 

~ г

 

 

 

П 1

 

 

где А п и — произвольные постоянные.

 

Мы имели два дифференциальных уравнения: уравнение

(4.4)

второго порядка и уравнение (4.5) четвертого порядка. При их решении появляются шесть постоянных интегрирования. Исполь­

зование четырех краевых условий позволило определить

С1п, С2п,

С^п

и

<ѵ Входящие в выражение

(4.16)

Ап и

могут быть най­

дены по начальной

форме

изгиба

балки

и закону распределения

скоростей по длине балки в начальный момент.

 

п=1

 

 

 

Первой, наименьшей,

 

основной

частоте ац

при

соответ­

ствует

изгиб балки

по

одной

полуволне;

второй частоте

со2

при

п —2 — изгиб

по

двум

полуволнам;

третьей

частоте

озз

при п = 3 — изгиб по трем

полуволнам и т. д. Произвольной п-ой

частоте отвечает изгиб по п полуволнам.

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим три первых тона колебаний балки. Первый тон

колебаний, п=1:

 

 

 

 

 

 

9,870

Г El

 

 

 

 

 

TZ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k x = 7

 

 

 

 

 

 

 

l2

У

т ;

 

 

 

 

 

У\ (х,

t)

=

 

tzX

sin (u>7 +

у,)-

 

 

 

 

 

А лsin -j-

 

 

 

Второй тон колебаний,

п= 2:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2тс

 

 

 

4тг2

ГEl

39,478

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

/2

V

m

 

/2

]/

т ’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2кх

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) -

Л2 Sin ~т

 

 

 

 

 

 

 

Третий тон колебаний

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

й, п=3:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k - * ? -

’

“

97t2

Г Ы

I2

- i f Ë l .

 

 

 

 

I

/2

\

m

 

V

ТП

'

 

 

 

 

 

 

) =

А 3sin Зкх

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~т

 

 

 

 

 

 

 

Из полученных результатов видно, что упругая линия балки

является синусоидой,

причем

число

полуволн

в последовательных

60

Смотрите также файлы