Файл: Основы динамики сооружений учеб. пособие.pdf

ния и скорости обеих масс в начальный момент времени одинаковы, то они будут совершать колебания первой (симметричной) формы, а колебаний второй формы не будет.

б) О б р а т н о с и м м е т р и ч н ы е н а ч а л ь н ы е у с л о в и я , т. е.

Ую——У2 0 —У0 , Ѵю=—Ѵ20 — Vq.

В этом случае

^21 —0, А2

Таким образом, если отклонения и скорости обеих масс в начальный мо­ мент времени одинаковы по абсолютной величине, но противоположны по знаку,

41

и обратно симметричного с начальными условиями

Пример 5. Невесомая иеразрезная двухпролетная балка с сосредоточенными в серединах пролетов равными массами mi = m2 = M (рис. 19).

А. Определение частот свободных колебаний.

Частотное уравнение по форме останется таким же, как и в примере 4, т. е.

Корни его будут следующими:

= M (8U — S12), — больший корень,

X2 = ЛІ (8ц -f- 812), X2 — меньший корень.

Для определения единичных перемещений б на рис. 19,6 и в построены соответствующие эпюры моментов.

Затем по формуле Мора, с применением правила Верещагина, получаем

Б. Определение главных форм колебаний.

Найдем отношение рі амплитуд А 1 и Д2, используя уравнения предыдущего примера. Это отношение будет равно:

при Я =

Pu = - ________ МІ М _ _ = _ 1 -

М8ц — М (8U — В12)

при

4 2

Рис. 19

43

При колебаниях во второй форме А<2=А22 . Форма колебаний имеет вид, пред­ ставленный на рис. 19,0. В этом случае перемещения масс определяются выра­ жениями:

Для возникновения той или иной формы колебаний необходимы соответст­ вующие начальные условия. При произвольных начальных условиях будет про­ исходить наложение форм колебаний со своими амплитудами и фазами коле­ баний.

В. Получение общих уравнений движения.

Полные перемещения масс найдутся как сумма соответствующих перемеще­ ний этих масс по первой и второй главным формам, т. е.

Уі — — A2l sin (со/ + Yi) + Л22 sin (со/ -j- f 2); у2 = A21sin (со/ -f- 7 ,) -j- A22sin (со/ -}- 7 з).

Порядок определения постоянных А21, А22, 7 і и ~{2 остается таким же, как

ив предыдущем примере.

§12. Вынужденные колебания при действии вибрационной нагрузки

По-прежнему в качестве модели системы с конечным числом степеней свободы будем рассматривать невесомую балку, несу­

в точке ее приложения, может быть найдено как сумма проГщбов от каждой из сил инерции и заданной возмущающей силы:

У„ = А , sin pt,

где D u D2, . . ., Dn — амплитуды вынужденных колебаний масс.

44

Силы инерции в соответствии с формулами (3.18) будут опре­ деляться выражениями

d2y

J\ = — mi = rriypWi sin pt,

cfëy

J%— — тг - j ^ = т2рЮ 2sin pt,

(3.19)

m, d-d y^ ‘= m,iP2Dn sin pt.

Подставив (3.16), (3.18) и (3.19) в (3.17), замечаем, что в каж­ дый член каждого уравнения системы (3.17) множителем входит функция sin pt. Произведем сокращение в системе (3.17) на эту функцию. Далее заметим, что максимальные значения сил инер­ ции и прогибов в каждой точке балки будут при sinp^= l. Введем обозначения для максимальных значений сил инерции:

Хп J п max

идля статических прогибов от действия максимального значения возмущающей силы:

Тогда уравнения системы (3.17) могут быть представлены в сле­ дующем виде, если перенести все члены в левую часть, изменить знаки и сделать приведение подобных членов:

После определения ^максимального значения сил инерции из системы (3.22) максимальные значения внутренних усилий в систе­ ме (для рассматриваемой балки — опорных реакций, изгибающих

45