ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 85
Скачиваний: 0
По данным этой таблицы на рис. 29 построены графики функ ций igkl и th kl.
Абсциссы точек пересечения построенных графиков являются корнями частотного уравнения. Первые три корня будут равны:
k J = 3,9, k J ==7,1, k J = 10,2.
Рис. 29
Методом подбора получены следующие значения корней:
k j = 3,927, k J = 7,1069, k j = 10,210.
При /г>2 корни частотного уравнения могут быть определены по формуле
л / 4« + 1 kJ = — 4-----«•
Первые три частоты свободных колебаний будут следующие:
|
15,5,418 |
л f |
ЕІ |
|
|
12 |
I/ |
m |
' |
|
49,965 |
f~ËI |
||
|
/2 |
V |
rn |
’ |
Л |
104,248 |
|
/ £ / |
|
/2 |
V |
m |
|
|
На рис. 30 показаны формы стоячей волны, соответствующие первым трем частотам колебаний балки.
68
Отметим, что наименьшая частота рассматриваемой |
балки |
в полтора раза больше наименьшей частоты простой балки |
и во |
столько же раз |
меньше частоты балки с защемленными концами. |
Таким образом, |
характер закрепления концов стержня сущест |
венно влияет на |
частоту колебаний балок. |
п= 3
Рис. 30
4. Колебания консоли
Определим частоту свободных колебаний балки длиной I с од ним защемленным, а другим свободным концом (рис. 31). Пусть т — интенсивность равномерно распределенной массы. На жестко защемленном конце балки отсутствует прогиб и угол пово-
,т
'111 m іи
г
X
Рис. 31
рота, а на свободном конце — изгибающий момент и' поперечная сила. В соответствии с этим получим следующие краевые условия:
при х = 0
Х ( х ) = 0 и ^ Ö - O ;
При Х = 1
d*X(x) |
о |
d3X (х) |
|
и — ^ - - 0 . |
69
Из краевых условий получаем следующие уравнения: |
|
||
Q -j- Cs = 0; С2 + С4 = 0; |
|
|
|
С] ch kl + С2 sh kl — Cs cos kl — Ci sin kl — 0; |
|
||
Cj sh kl -j- C2 ch kl + C3 sin /fe/ — C4 cos kl = |
0. |
|
|
Найдем значения C3 и C4 из первых двух уравнений и подста |
|||
вим их в два последних уравнения: |
|
|
|
Cj (ch kl + cos kl) + C2 (sh kl + |
sin kl) — 0; |
|
|
C, (sh kl — sin kl) -j- C2(ch kl + |
cos kl) = |
0. |
|
Для возможности существования ненулевых решений |
для С\ |
||
и Cs необходимо обращение в нуль определителя |
этой |
системы |
|
уравнений, т. е. |
|
|
|
(ch kl + cos k l y — (sh2 kl — sin2 kl)' — 0. |
|
^ |
|
Учитывая, что |
|
|
|
sh? kl — ch2kl — 1; sin2 kl = 1 — cos2 kl,
получаем
ch kl cos kl — — 1.
70
Используя таблицу круговых и гиперболических функций, мето дом подбора находим три первых корня этого уравнения: k\l= 1,875; k2l = 4,694; k3l = 7,855. Можно считать, что при п> 2
Первые три |
частоты свободных колебаний будут |
равны: |
||||||
®і |
3,515, f |
ЕІ |
22,034 , |
/ |
EI |
61,701 |
ЛЯ/ |
|
у |
|
/2. |
у |
т |
12 |
\ |
т |
|
На рис. 32 изображена |
форма стоячих волн |
для |
первых трех |
|||||
частот свободных колебаний консоли. |
|
|
|
|
||||
Наименьшая частота колебаний, для консоли получилась почти в три раза меньше соответствующей частоты для простой балки.
5. Колебания двухпролетной неразрезной балки
Исследуем свободные поперечные колебания двухпролетной не разрезной балки с равными пролетами и постоянным поперечным сечением. Интенсивность равномерно распределенной массы обо значим через m (рис. 33).
|
|
|
ѳ |
m |
© |
|
|
|
|
I 1п т |
1111 |
т |
|
|
|
|
|
|
|
ITT 1K l 1п т n il ГИТ |
|
|
||||
, |
л |
|
г |
|
е |
H |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У- |
|
|
|
|
|
Л |
|
|
|
|
|
|
Рис. 33 |
|
|
|
|
Выражение |
(4.11) |
для |
функции |
Х(х) |
необходимо |
написать |
||
отдельно для каждого пролета: |
|
|
|
|
||||
Х г (X) = Сп ch k x -f- CI2 sh kx + |
C13 cos kx + |
Cu sin kx\ |
||||||
X 2(X) — C21 ch kx + |
C22 sh kx + |
C23 cos kx + |
C24 sin kx. |
|||||
Краевые условия должны выражать собой отсутствие прогибов |
||||||||
на всех опорах, отсутствие изгибающих |
моментов на |
крайних |
||||||
опорах и равенство углов поворота и изгибающих моментов в се чениях, примыкающих к средней опоре со стороны левого и пра вого пролетов. В каждом пролете будем полагать начало оси абсцисс х = 0 на крайней опоре (рис. 33). Ось же ординат у будем считать направленной, как и прежде, вниз. Тогда краевые условия запишутся следующим образом:
при х = 0
при x = l |
|
АІЛ', (л:) |
d X 2 (х) |
d2X x ( х ) _d2X а (л:) * |
|
Х х(х) = 0; |
Х ,(х) = 0; |
||||
|
|
dx |
d x |
’ üix2 |
d x 2 |
Первые |
производные от Х х(х) |
и Х2(х) |
будут различными по |
||
знаку, потому что абсциссы х для левого и правого пролетов балки отсчитываются в противоположных направлениях. Первые и вто
рые производные от Х х(х) |
и Х2(х) |
будут равны: |
|
|||
^ ^ х ~' |
= |
^ ^ 11 ^х |
^ 12 |
~~ ^ 13 sin ^х + |
cos ^-*0 ; |
|
^ |
|
~ |
^ (с п ch |
+ ^ і2 sh kx — С18 cos &х — Сн sin k x ); |
||
^ 2 |
(*) |
— к (C21 sh kx -j- Ci2 ch kx — C23 sin kx + |
C24 cos &x); |
|||
dx |
|
|
|
|
|
|
d*X2 (x) |
|
k 2 (C2l ch kx -f C22 sh kx — C23 cos kx |
— C24 sin kx). |
|||
d x 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
||
Краевые условия для |
крайних |
опор дадут следующие урав |
||||
нения: |
|
|
|
|
|
|
Сп -)- СІ8 = 0; С2і -f- С2з = 0; Сп С13 = 0; С2і С23 = 0. |
||||||
Из |
этих |
уравнений |
найдем |
Си = Сіз = С2і= С23 = 0. С учетом |
||
этого из краевых условий на средней опоре получим |
||||||
|
С,2 sh kl -f С14 sin kl — 0; C22 sh kl + C24 sin kl — 0; |
|||||
|
C12 ch kl -f- Cu cos |
+ C22 ch kl 4- C24 cos kl — 0; |
||||
C,2 sh kl — CH sin kl — C22 sh kl -f C24 sin kl = 0.
Получилась система уравнений без свободных членов. Поэтому условием существования ненулевых решений для постоянных С будет обращение в нуль определителя:
sh kl |
sin kl |
0 |
0 |
0 |
0 |
sh kl |
sin kl |
ch kl |
cos kl |
ch kl |
cos kl |
sh kl |
—sin kl |
—sh kl |
sin kl |
Раскрывая полученный определитель четвертого порядка, при ходим к следующему частотному уравнению:
sin kl(tgkl — th kl) — 0,
из которого видно, что рассматриваемая балка может иметь два вида колебаний.
Первый вид колебаний соответствует условию sin&/ = 0, совпа дающему с условием для простой балки. Следовательно, первая группа стоячих волн при колебаниях двухпролетной балки будет такой же, как и у простой балки.
72